Cosinuseorem i 1 del av Oge

I artikeln Om en rektangulär triangel Vi tittade på de uppgifter som är förknippade med sinus och cosinese från 1 del av Oge. Så var noga med att titta.

Det visar sig att det är möjligt att lösa en rektangulär triangel (att hitta alla sidor och skarpa hörn) är ganska enkelt och vet bara två element i en rektangulär triangel: två sidor (av pythagoree teorem) eller sida och akut vinkel (från definitionerna av sinus, cosinus, tangent).

Men det är möjligt att lösa triangeln (hitta alla sidor och vinklar) och godtyckliga, vetande Tre element : Tre sidor, två sidor och vinkel, eller två hörn och sida.

För de två första fallen i beslutet njuter Kosineov Theorem (Det är ganska möjligt att det här ämnet väntar på dig redan nästa vecka i skolan, och kanske redan):

I vilken triangel som helst är torget på ena sidan lika med summan av de två andra parternas kvadrater minus dubbelprodukten av dessa två sidor till cosinusen i vinkeln mellan dem.

Cosinuseorem i 1 del av Oge
  • Om du känner till tre sidor av triangeln kan du hitta cosines av alla vinklar
  • Om två sidor och vinkel mellan triangeln är kända, kan du hitta en tredje part.

I det här fallet är det användbart att använda tabellen med cosinusvärden för vissa vinklar:

Cosinuseorem i 1 del av Oge

Tänk på lösningen av problemet nr 11 från samlingen av Yashchenko (36 alternativ) på Cosine-teorem:

Cosinuseorem i 1 del av Oge

Jag kommer att avbilda ABC-triangeln och hitta i den motsatta sidan för ABC-vinkeln.

Cosinuseorem i 1 del av Oge

Från figuren är det uppenbart att den motsatta sidan är sidan av AU.

För den del av AU, skriv cosinuseorem:

Cosinuseorem i 1 del av Oge

Ersätta värdena på alla sidor:

Cosinuseorem i 1 del av Oge

Vi bär alla "fria" siffror (ändra tecknet) till vänster om jämlikheten och överväga:

Cosinuseorem i 1 del av Oge

Hitta en Cosine-vinkel ABC som en okänd multiplikator:

Cosinuseorem i 1 del av Oge

Spela in svaret:

Cosinuseorem i 1 del av Oge

Om du känner till de som förbereder sig för Oge, glöm inte att dela med den här informationen. Alltid användbar.

Fortsättning följer...

Glöm inte att klicka på ditt finger upp efter att ha läst och prenumerera. För detta separat tack

(✿◠‿◠)

Cosinuseorem i 1 del av Oge

Vi har redan funnit cosines av triangelvinklarna på sina partier i en godtycklig triangel och cosinus av en akut vinkel på en rektangulär triangel.

Tänk på hur man hittar cosinerna av hörnen av triangeln på sina hörn.

En uppgift

Danched: ΔABC,

A (-2; 0), B (6; 1), C (-3; -5).

1) Hitta cosinerna i ABC-triangennvinklarna;

2) Bestäm typ av triangel.

Beslut:

Kosinusy-Uglov-Treugolnika1) Vinkel A bildas av vektorer

\ [\ incrityarrow {ab} u \ incritearrow {ac}. \]

(Ritningen är inte nödvändig på koordinatplanet. Det är nog att utföra det schematiskt för att förenkla förståelsen, vilken vinkel med vilka vektorer som bildas).

Därav,

\ [\ {\ incrityarrow {ab}} \ höger | \ Cdot \ vänster | {\ incrityarrow {ac}} \ höger |}}. \]

Vi hittar koordinaterna för vektorerna:

\ [\ incrityarrow {ab} (x_b - x_a; y_b - y_a), \]

\ [\ incrityarrow {ab} (6 - (- 2); 1 - 0), \]

\ [\ incrityarrow {ab} (8; 1). \]

\ [\ incrityarrow {ac} (x_c - x_a; y_c - y_a), \]

\ [\ inRIGHTARROW {AC} (- 3 - (- 2); - 5 - 0), \]

\ [\ inRightArrow {AC} (- 1; - 5). \]

Vi hittar en skalärprodukt av vektorer:

\ [\ inRightArrow {AB} \ CDOT \ inRIGHTARROW {AC} = 8 \ CDOT (- 1) + 1 \ CDOT (- 5) = - 13. \]

Eftersom skalärprodukten är mindre än noll, en vinkel som bildas av dessa vektorer, dumma. Så ABC-triangeln är dum.

Vektor (eller moduler) av vektorer:

\ [\ left | {\ incrityarrow {ab}} \ höger | = \ sqrt {8 ^ 2 + 1 ^ 2} = \ sqrt {65}, \]

\ [\ left | {\ incrityarrow {ac}} \ höger | = \ sqrt {(- 1) ^ 2 + (- 5) ^ 2} = \ sqrt {26}. \]

Härifrån

\ [\ cos a = \ frac {{{65} {{\ sqrt {26}}} = \ frac {{- 13}} {{\ sqrt {5 \ cdot 13 \ cdot 2 \ cdot 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{- 13}} {{13 \ sqrt {10}}} = - \ frac {1} {{\ sqrt {10}}} = - \ frac {{\ sqrt {10}}} {{10}}. \]

2) Vinkel B bildas av vektorer

\ [\ incrityarrow {ba} u \ incrityarrow {bc}. \]

På det här sättet,

\ [\ cos b = \ frac {{\ cdot \ incrityarrow {bc}}} {{\ left | {\ incrityarrow {ba}} \ höger | \ Cdot \ vänster | {\ inRightArrow {bc}} \ höger |}}. \]

Som

\ [\ incrityarrow {ba} u \ incrityarrow {ab} \]

- Motsatt vektorer, deras koordinater skiljer sig endast på skyltar och vektorer har samma längd:

\ \

\ [\ left | {\ incrityarrow {ba}} \ höger | = \ vänster | {\ incrityarrow {ab}} \ höger | = \ sqrt {65}. \]

\ [\ incrityarrow {bc} (x_c - x_b; y_c - y_b), \]

\ [\ incrityarrow {bc} (- 3 - 6; - 5 - 1), \]

\ [\ incrityarrow {bc} (- 9; - 6). \]

\ [\ inRightArtrow {ba} \ cdot \ increightarrow {bc} = - 8 \ cdot (- 9) + (- 1) \ cdot (- 6) = 78. \]

\ [\ left | {\ incrityarrow {bc}} \ höger | = \ sqrt {(- 9) ^ 2 + (- 6) ^ 2} = \ sqrt {117}. \]

\ [\ Cos b = \ frac {{78}} {{\ sqrt {65}}} = \ frac {{13 \ cdot 6}} {{\ sqrt {5 \ cdot 13 \ CDOT 9 \ CDOT 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{13 \ cdot 6}} {{13 \ cdot 3 \ sqrt 5}} = \ frac {2} {{\ sqrt 5}} = \ frac {{2 \ sqrt 5}} {5 }. \]

3) Hörn C är formad av vektorer

\ [\ increightarrow {ca} u \ incrityarrow {cb}, \]

\ [\ cos c = \ frac {{\ cdot \ inrightarrow {cb}}} {{\ left | {\ incrityarrow {ca}} \ höger | \ Cdot \ vänster | {\ inRightArrow {cb}} \ höger |}}. \]

\ \

\ [\ incrityarrow {bc} (- 9; - 6), \ righarrow \ increightarrow {cb} (9; 6), \]

\ [\ left | {\ incrityarrow {ca}} \ höger | = \ vänster | {\ incrityarrow {ac}} \ höger | = \ sqrt {26}, \]

\ [\ left | {\ inRightArrow {cb}} \ höger | = \ vänster | {\ incrityarrow {bc}} \ höger | = \ sqrt {117}, \]

\ [\ inRightArtrow {CA} \ CDOT \ inRIGHTARROW {CB} = 1 \ CDOT 9 + 5 \ CDOT 6 = 39. \]

\ [\ cos c = \ frac {{39}} {{\ sqrt {117}}} = \ frac {{13 \ cdot 3}} {{\ sqrt {2 \ cdot 13 \ CDOT 9 \ CDOT 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{13 \ cdot 3}} {{13 \ cdot 3 \ sqrt 2}} = \ frac {1} {{\ sqrt 5}} = \ frac {{\ sqrt 5}} {5} . \]

Svar:

\ [\ \ sqrt {10}}} {{10}}} \ cos b =} {{2 \ sqrt 5}} {5}, \ cos c = \ frac {{ \ Sqrt 5}} {5}; \]

ΔABC - dumt.

Добавить комментарий