Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

В статье про прямоугольный треугольник посмотрели задачи связанные с синусами и косинусами из 1 части ОГЭ. Так что обязательно заглядывай.

Получается, что решить прямоугольный треугольник (найти все стороны и острые углы) можно довольно просто, зная всего лишь два элемента прямоугольного треугольника :две стороны (по теореме Пифагора) или сторону и острый угол (из определений синуса, косинуса, тангенса).

Но решить треугольник (найти все стороны и углы ) можно и произвольный, зная три элемента: три стороны, две стороны и угол, или два угла и сторону.

Для первых двух случаев в решении пользуются теоремой косинусов (вполне возможно эта тема вас поджидает уже на следующей неделе в школе, а может уже и была):

в любом треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ
  • Если известны три стороны треугольника можно найти косинусы всех углов
  • Если известны две стороны и угол между ними треугольника, то можно найти третью сторону.

В этом случае полезно пользоваться таблицей значений косинусов некоторых углов :

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Рассмотрим решение задачи №16 из сборника Ященко (36 вариантов) на теорему косинусов :

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Изобразим треугольник АВС и найдем в нем противолежащую сторону для угла АВС.

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Из рисунка видно, что противолежащая сторона - это сторона АС.

Для стороны АС записываем теорему косинусов:

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Подставим значения всех сторон:

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Переносим все "свободные" числа (меняя знак) в левую часть равенства и считаем:

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Находим косинус угла АВС, как неизвестный множитель:

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Записываем ответ:

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Если вы знаете того, кто готовится к ОГЭ, не забудьте поделиться с ним этой информацией. Всегда пригодится.

Продолжение следует...

Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность

(✿◠‿◠)

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Мы уже находили косинусы углов треугольника по его сторонам в произвольном треугольнике и косинус острого угла прямоугольного треугольника.

Рассмотрим, как найти косинусы углов треугольника по его вершинам.

Задача

Дано: ΔABC,

A(-2;0), B(6;1), C(-3;-5).

1) Найти косинусы углов треугольника ABC;

2) Определить вид треугольника.

Решение:

kosinusy-uglov-treugolnika1) Угол A образован векторами

\[\overrightarrow {AB} u\overrightarrow {AC} .\]

(Чертёж не обязательно делать на координатной плоскости. Достаточно выполнить его схематически, для упрощения понимания, какой угол какими векторами образован).

Следовательно,

\[\cos A = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}.\]

Найдём координаты векторов:

\[\overrightarrow {AB} (x_B - x_A ;y_B - y_A ),\]

\[\overrightarrow {AB} (6 - ( - 2);1 - 0),\]

\[\overrightarrow {AB} (8;1).\]

\[\overrightarrow {AC} (x_C - x_A ;y_C - y_A ),\]

\[\overrightarrow {AC} ( - 3 - ( - 2); - 5 - 0),\]

\[\overrightarrow {AC} ( - 1; - 5).\]

Находим скалярное произведение векторов:

\[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 8 \cdot ( - 1) + 1 \cdot ( - 5) = - 13.\]

Поскольку скалярное произведение меньше нуля, угол, образованный данными векторами, тупой. Значит треугольник ABC — тупоугольный.

Длины (или модули) векторов:

\[\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {8^2 + 1^2 } = \sqrt {65} ,\]

\[\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {( - 1)^2 + ( - 5)^2 } = \sqrt {26} .\]

Отсюда

\[\cos A = \frac{{ - 13}}{{\sqrt {65} \cdot \sqrt {26} }} = \frac{{ - 13}}{{\sqrt {5 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 13} }} = \]

\[= \frac{{ - 13}}{{13\sqrt {10} }} = - \frac{1}{{\sqrt {10} }} = - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}.\]

2) Угол B образован векторами

\[\overrightarrow {BA} u\overrightarrow {BC} .\]

Таким образом,

\[\cos B = \frac{{\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}.\]

Так как

\[\overrightarrow {BA} u\overrightarrow {AB} \]

— противоположные векторы, то их координаты отличаются только знаками и векторы имеют одинаковую длину:

\[\overrightarrow {AB} (8;1), \Rightarrow \overrightarrow {BA} ( - 8; - 1),\]

\[\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {65} .\]

\[\overrightarrow {BC} (x_C - x_B ;y_C - y_B ),\]

\[\overrightarrow {BC} ( - 3 - 6; - 5 - 1),\]

\[\overrightarrow {BC} ( - 9; - 6).\]

\[\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = - 8 \cdot ( - 9) + ( - 1) \cdot ( - 6) = 78.\]

\[\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {( - 9)^2 + ( - 6)^2 } = \sqrt {117} .\]

\[\cos B = \frac{{78}}{{\sqrt {65} \cdot \sqrt {117} }} = \frac{{13 \cdot 6}}{{\sqrt {5 \cdot 13 \cdot 9 \cdot 13} }} =\]

\[= \frac{{13 \cdot 6}}{{13 \cdot 3\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}.\]

3) Угол C образован векторами

\[\overrightarrow {CA} u\overrightarrow {CB} ,\]

\[\cos C = \frac{{\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} }}{{\left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right|}}.\]

\[\overrightarrow {AC} ( - 1; - 5), \Rightarrow \overrightarrow {CA} (1;5),\]

\[\overrightarrow {BC} ( - 9; - 6), \Rightarrow \overrightarrow {CB} (9;6),\]

\[\left| {\overrightarrow {CA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {26} ,\]

\[\left| {\overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {117} ,\]

\[\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} = 1 \cdot 9 + 5 \cdot 6 = 39.\]

\[\cos C = \frac{{39}}{{\sqrt {26} \cdot \sqrt {117} }} = \frac{{13 \cdot 3}}{{\sqrt {2 \cdot 13 \cdot 9 \cdot 13} }} = \]

\[= \frac{{13 \cdot 3}}{{13 \cdot 3\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}.\]

Ответ:

\[\cos A = - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}},\cos B = \frac{{2\sqrt 5 }}{5},\cos C = \frac{{\sqrt 5 }}{5};\]

ΔABC — тупоугольный.

Добавить комментарий