Teorema cosinei în 1 parte a OGE

In articol Despre un triunghi dreptunghiular Ne-am uitat la sarcinile asociate cu sinusul și cosinusul de la 1 parte a OGE. Deci, asigurați-vă că vă uitați.

Se pare că este posibil să rezolvăm un triunghi dreptunghiular (găsirea tuturor laturilor și colțurile ascuțite) este destul de simplă, știind doar două elemente ale unui triunghi dreptunghiular: două laturi (prin teorema pythagoree) sau unghiul lateral și acut (din definiții de sinus, cosin, tangent).

Dar este posibil să rezolvați triunghiul (găsiți toate laturile și unghiurile) și arbitrare, știind Trei elemente : Trei laturi, două laturi și unghiuri sau două colțuri și laterale.

Pentru primele două cazuri din decizie se bucură Teorema Kosineov. (Este foarte posibil ca acest subiect să vă aștepte deja săptămâna viitoare la școală și poate deja):

În orice triunghi, pătratul unei părți este egal cu suma pătratelor celorlalte două părți minus produsul dublu al acestor două laturi la cosinul unghiului dintre ele.

Teorema cosinei în 1 parte a OGE
  • Dacă știți trei laturi ale triunghiului, puteți găsi cosines din toate unghiurile
  • Dacă sunt cunoscute două părți și unghiuri între triunghi, atunci puteți găsi o terță parte.

În acest caz, este utilă utilizarea tabela a valorilor cosinoase ale unor unghiuri:

Teorema cosinei în 1 parte a OGE

Luați în considerare soluția problemei nr. 11 din colecția de Yashchenko (36 de opțiuni) pe teorema cosiniei:

Teorema cosinei în 1 parte a OGE

Voi descrie triunghiul ABC și voi găsi în partea opusă unghiului lui ABC.

Teorema cosinei în 1 parte a OGE

Din figura este clar că partea opusă este partea UA.

În partea UA, scrieți teorema cosinei:

Teorema cosinei în 1 parte a OGE

Înlocuiți valorile tuturor laturilor:

Teorema cosinei în 1 parte a OGE

Avem toate numerele "libere" (schimbarea semnului) în partea stângă a egalității și luați în considerare:

Teorema cosinei în 1 parte a OGE

Găsiți un unghi cosinus ABC ca un multiplicator necunoscut:

Teorema cosinei în 1 parte a OGE

Înregistrați răspunsul:

Teorema cosinei în 1 parte a OGE

Dacă știți pe cei care se pregătesc pentru Oge, nu uitați să împărtășiți aceste informații. Întotdeauna util.

Va urma...

Nu uitați să faceți clic pe degetul în sus după citirea și abonați-vă. Pentru această mulțumire separată

(✿◠‿◠)

Teorema cosinei în 1 parte a OGE

Am găsit deja cosine ale unghiurilor triunghiului asupra partidelor sale într-un triunghi arbitrar și cosinus unui unghi acut al unui triunghi dreptunghiular.

Luați în considerare cum să găsiți cosinele colțurilor triunghiului pe vârfurile sale.

O sarcină

Danched: ΔABC,

A (-2; 0), b (6; 1), c (-3; -5).

1) găsiți cosinele unghiurilor triunghiului ABC;

2) Determinați tipul de triunghi.

Decizie:

Kosinusy-Uglov-Treugolnika1) Unghi A este format din vectori

\ [\ overryarrow {ab} u \ preaspridarrow {AC}. \]

(Desenul nu este necesar pe planul de coordonate. Este suficient să o îndeplinească schematic pentru a simplifica înțelegerea, care unghi de ce se formează vectori).

Prin urmare,

\ [\ cos a = \ frac {{\ overrightarrow {ab} \ CDOt {{}}} {{}}} {{\ la stânga | {\ overryarrow {ab}} dreapta | \ Cdot \ stânga | {\ preadarrow {AC} \ dreapta |}}. \]

Vom găsi coordonatele vectorilor:

\ [\ overryarrow {ab} (x_b - x_a; y_b - y_a), \]

\ [\ overryarrow {ab} (6 - (- 2); 1 - 0), \]

\ [\ overryarrow {ab} (8; 1). \]

\ [\ overryarrow {AC} (x_c - x_a; y_c - y_a), \]

\ [\ personale {AC} (- 3 - (- 2); - 5 - 0), \]

\ [\ overryarrow {AC} (- 1; - 5). \]

Găsim un produs scalar al vectorilor:

\ [\ overryarrow {ab} \ cdot \ anverghtarrow {AC} = 8 \ CDOT (- 1) + 1 \ CDOT (- 5) = - 13. \]

Deoarece produsul scalar este mai mic de zero, un unghi format de acești vectori, prost. Deci, triunghiul ABC este prost.

Vector (sau module) de vectori:

\ [\ stânga | {\ overryarrow {ab}} dreapta | = \ sqrt {8 ^ 2 + 1 ^ 2} = \ sqrt {65}, \]

\ [\ stânga | {\ overryarrow {AC}} dreapta | = \ sqrt {(- 1) ^ 2 + (- 5) ^ 2} = \ sqrt {26}. \]

De aici

\ [\ COS A = {{{- 13}} {{{{{} {65}}}} {{{}} {{{{{}} {{{- 13} {{{{- 13} {{\ SQRT {5 \ CDOT 13 \ CDOT 2 \ cdot 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{- 13}} {{13 \ sqrt {10}}} = - \ frac {1} {{\ SQRT {10}}} = - \ frac {{\ SQRT {10}}} {{10}}. \]

2) Unghiul B este format din vectori

\ [\ overryarrow {ba} u \ preaspridarrow {bc}. \]

În acest fel,

\ [\ cos b = \ frac {{\ overryarrow {ba} \ cdot {{}}} {\ stânga | {\ overryarrow {ba}} dreapta | \ Cdot \ stânga | {\ preadarrow {bc}} dreapta |}}. \]

La fel de

\ [\ overryarrow {ba} u \ preaspridarrow {ab} \]

- vectori opuși, coordonatele lor diferă numai pe semne și vectori au aceeași lungime:

\ [\ overryarrow {ab} (8; 1), \ resedarrow \ agrightarrow {ba} (- 8; - 1), \]

\ [\ stânga | {\ overryarrow {ba}} dreapta | = \ stânga | {\ overryarrow {ab}} dreapta | = \ sqrt {65}. \]

\ [\ overryarrow {bc} (x_c - x_b; y_c - y_b), \]

\ [\ overryarrow {bc} (- 3 - 6; - 5 - 1), \]

\ [\ persaraj {bc} (- 9; - 6). \]

\ [\ overryarrow {ba} \ cdot \ andot (- 9) + (- 1) \ cdot (- 6) = 78. \]

\ [\ stânga | {\ overryarrow {bc}} dreapta | = \ sqrt {(- 9) ^ 2 + (- 6) ^ 2} = \ sqrt {117}. \]

\ [\ COS B = {{\ SQRT {65}}} = {}} = \ frac {{13 \ CDOT 6}} {{\ SQRT {5 \ CDOT 13 \ CDOT 9 \ CDOT 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{13 \ cdot 6}} {13 \ cdot 3 \ sqrt 5}} \ sqrt 5}} {{\ sqrt 5}} = \ sqrt 5 {{2 \ SQRT 5}} {5 }. \]

3) Colțul C este format din vectori

\ [\ overryarrow {ca} u \ preaspridarrow {cb}, \]

\ [\ Cos c = \ \ frac {{\ overryarrow {ca} \ CDOt {cb}}} {{}}} {{@ stânga | {\ overryarrow {ca}} \ dreapta | \ Cdot \ stânga | {\ preadarrow {cb}} \ dreapta |}}. \]

\ [\ overryarrow {AC} (- 1; - 5), \ dreapta \ ceargharrow {ca} (1; 5), \]

\ [\ overryarrow {bc} (- 9; - 6), \ dreaptaararrow \ anverghtarrow {cb} (9; 6), \]

\ [\ stânga | {\ overryarrow {ca}} \ dreapta | = \ stânga | {\ overryarrow {AC}} dreapta | = \ sqrt {26}, \]

\ [\ stânga | {\ overryarrow {cb}} \ dreapta | = \ stânga | {\ overryarrow {bc}} dreapta | = \ sqrt {117}, \]

\ [\ overryarrow {ca} \ cdot \ overrightarrow {cb} = 1 \ CDOT 9 + 5 \ CDOT 6 = 39. \]

\ [\ cot c = {{\ sqrt {26}}}} = {}} = \ frac {{13 \ CDOT 3}} {{\ SQRT {2 \ CDOT 13 \ CDOT 9 \ CDOT 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{13 \ cdot 3}} {13 \ cdot 3 \ sqrt 2} {{\ sqrt 5}} {{{\ sqrt 5}} \ sqrt 5}} {5} . \]

Răspuns:

\ [\ cos a = - \ sqrt {10}} {10}} {{10}} {{10}}, {{\ SQRT 5}} {5}, \ COS C = \ Frac {{{ \ Sqrt 5}} {5}; \]

ΔABC - Stupid.

Добавить комментарий