Teorema Cosine em 1 parte do Oge

No artigo Sobre um triângulo retangular Nós olhamos para as tarefas associadas com sinus e cosinês de 1 parte do Oge. Portanto, não se esqueça de olhar.

Acontece que é possível resolver um triângulo retangular (encontrar todos os lados e cantos afiados) é bastante simples, sabendo apenas dois elementos de um triângulo retangular: dois lados (pelo teorema pitágora) ou ângulo lateral e agudo (das definições de seio, cosseno, tangente).

Mas é possível resolver o triângulo (encontrar todos os lados e ângulos) e arbitrário, sabendo Três elementos. : Três lados, dois lados e ângulo, ou dois cantos e lado.

Para os dois primeiros casos na decisão, aproveite Kosinovov Teorem. (É bem possível que este tópico esteja esperando por você já na próxima semana na escola, e talvez já):

Em qualquer triângulo, a praça de um lado é igual à soma dos quadrados das outras partes menos o produto duplo destes dois lados para o cosseno do ângulo entre eles.

Teorema Cosine em 1 parte do Oge
  • Se você conhece três lados do triângulo, você pode encontrar cosenos de todos os ângulos
  • Se dois lados e ângulo entre o triângulo são conhecidos, você pode encontrar um terceiro.

Neste caso, é útil usar a tabela de valores de cosseno de alguns ângulos:

Teorema Cosine em 1 parte do Oge

Considere a solução do problema nº 11 da coleção de Yashchenko (36 opções) no teorema cosseno:

Teorema Cosine em 1 parte do Oge

Vou descrever o triângulo ABC e encontrar nele o lado oposto para o ângulo do ABC.

Teorema Cosine em 1 parte do Oge

Da figura é claro que o lado oposto é o lado da UA.

Para a parte da UA, escreva o teorema cosseno:

Teorema Cosine em 1 parte do Oge

Substitua os valores de todos os lados:

Teorema Cosine em 1 parte do Oge

Nós carregamos todos os números "livres" (mudando o sinal) à esquerda da igualdade e considere:

Teorema Cosine em 1 parte do Oge

Encontre um ângulo de cosseno ABC como um multiplicador desconhecido:

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Teorema Cosine em 1 parte do Oge

Já encontramos cossimos dos ângulos triângulos em suas festas em um triângulo arbitrário e cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retangular.

Considere como encontrar os cossenos dos cantos do triângulo em seus vértices.

Uma tarefa

Danched: ΔABC,

A (-2; 0), B (6; 1), C (-3; -5).

1) Encontre os cossenos dos ângulos de triângulo ABC;

2) Determine o tipo de triângulo.

Decisão:

Kosinusy-Uglov-Treugolnika1) Ângulo A é formado por vetores

\ [\ overtightarrrow {AB} u \ overtightarrrow {AC}. \]

(O desenho não é necessário no plano de coordenadas. É o suficiente para executá-lo esquematicamente para simplificar o entendimento, qual ângulo pelo que vetores é formado).

Por isso,

\ [\ cos a = \ frac {\ overtightarrrow {ab} \ cdot \ overtightarrrow {AC}}} {\ \ esquerda | {\ overtightrrow {ab}} \ direito | \ Cdot \ esquerda | {\ OvertightRow {AC}} \ Direita |}}. \]

Vamos encontrar as coordenadas dos vetores:

\ [\ westestingrrow {ab} (x_b - x_a; y_b - y_a), \]

\ [\ overtightarrrow {AB} (6 - (- 2); 1 - 0), \]

\ [\ overtightarrrow {ab} (8; 1). \]

\ [\ westestingrrow {AC} (x_c - x_a; y_c - y_a), \]

\ [\ overtightarrrow {AC} (- 3 - (- 2); - 5 - 0), \]

\ \ Overwighterrrow {AC} (- 1; - 5). \]

Encontramos um produto escalar de vetores:

\ [\ OverworkRow {AB} \ Cdot \ OverworkRow {AC} = 8 \ Cdot (- 1) + 1 \ Cdot (- 5) = - 13. \]

Como o produto escalar é menor que zero, um ângulo formado por esses vetores, estúpido. Então o triângulo ABC é estúpido.

Vetor (ou módulos) de vetores:

\ [\ esquerda | {\ overtightrrow {ab}} \ direito | = \ sqrt {8 ^ 2 + 1 ^ 2} = \ sqrt {65}, \]

\ [\ esquerda | {\ overtightarrrow {AC}} \ Direita | = \ sqrt {(- 1) ^ 2 + (- 5) ^ 2} = \ sqrt {26}. \]

Daqui

\ [\ cos a = \ frac {{- 13}} {{\ sqrt {65} \ cdot}}}} = \ frac {} {}}} {\ sqrt {5 \ cdot 13 \ cdot 2 \ Cdot 13}}} = \]

\ [= \ FRAC {{- 13}} {{13 \ sqrt {10}}} = - \ frac {1} {{\ sqrt {10}}} = - \ frac {}}}} {{10}}. \]

2) Ângulo B é formado por vetores

\ [\ overtightarrrow {ba} u \ westingryrrow {bc}. \]

Desta maneira,

\ [\ COS B = \ FRAC {\ overtightarrrow {ba} \ cdot \ overwighterrrow {bc}}} {\ \ esquerda | {\ Overtightarrrow {BA}} \ Direita | \ Cdot \ esquerda | {\ overtightarrrow {bc} \ \ direito |}}. \]

Como

\ [\ overtightarrrow {ba} u \ overtightarrrow {ab} \]

- vetores opostos, suas coordenadas diferem apenas em sinais e vetores têm o mesmo comprimento:

\ [\ overtightarrrow {AB} (8; 1), \ Rightarrow \ OvertightRow {BA} (- 8; - 1), \]

\ [\ esquerda | {\ Overtightarrrow {BA}} \ Direita | = \ esquerda | {\ overtightrrow {ab}} \ direito | = \ sqrt {65}. \]

\ [\ overtightarrrow {bc} (x_c - x_b; y_c - y_b), \]

\ [\ overtightarrow {bc} (- 3 - 6; - 5 - 1), \]

\ [\ overtightarrrow {bc} (- 9; - 6). \]

\ [\ OverworkRow {BA} \ Cdot \ OverworkRow {BC} = - 8 \ Cdot (- 9) + (- 1) \ Cdot (- 6) = 78. \]

\ [\ esquerda | {\ overtightarrrow {bc}} \ direito | = \ sqrt {(- 9) ^ 2 + (- 6) ^ 2} = \ sqrt {117}. \]

\ [\ Cos b = \ frac {{78}} {\ sqrt {65} \ cdot \ sqrt {117}}} = \ frac {{13 \ cdot 6}} {\ sqrt {5 \ cdot 13 \ Cdot 9 \ Cdot 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{13 \ cdot 6}} {{13 \ CDOT 3 \ sqrt 5}} = \ frac {2} {{\ sqrt 5}} = \ frac {{2 \ sqrt 5}} {5 }. \]

3) Canto C é formado por vetores

\ [\ overtightarrrow {ca} u \ overtightarrrow {cb}, \]

\ [\ COS C = \ FRAC {\ westinghightarrrow {CA} \ Cdot \ Superarrolar {CB}}} {\ esquerda | {\ overtightarrrow {ca}} \ direito | \ Cdot \ esquerda | {\ OverworkRow {CB} \ \ Direita |}}. \]

\ [\ overtightarrow {AC} (- 1; - 5), \ Rightarrow \ overtightRow {ca} (1; 5), \]

\ [\ overtightarrrow {BC} (- 9; - 6), \ Rightarrow \ OvertightRow {CB} (9; 6), \]

\ [\ esquerda | {\ overtightarrrow {ca}} \ direito | = \ esquerda | {\ overtightarrrow {AC}} \ Direita | = \ sqrt {26}, \]

\ [\ esquerda | {\ overtightrrow {CB}} \ Direita | = \ esquerda | {\ overtightarrrow {bc}} \ direito | = \ sqrt {117}, \]

\ [\ overtightarrrow {CA} \ Cdot \ OverwighterRow {CB} = 1 \ Cdot 9 + 5 \ Cdot 6 = 39. \]

\ [\ COS C = \ FRAC {{39}} {\ sqrt {26} \ cdot \ sqrt {117}}} = \ frac {{13 \ cdot 3}} {\ sqrt {2 \ cdot 13 \ Cdot 9 \ Cdot 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{13 \ cdot 3}} {{13 \ cdot 3 \ sqrt 2}} = \ frac {1} {} {}}}} = \ frac {{\ sqrt 5}} {}} {}} {\ sqrt 5}} {5} . \]

Responder:

\ [\ cos a = - \ frac {\ sqrt {10}}} {}} {{}}} \ cos b = \ frac {{2 \ sqrt 5}} {5}, \ c = \ frac {{} \ Sqrt 5}} {5}; \]

ΔABC - estúpido.

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