Cosino Twierdzenie w 1 części OGE

W artykule O prostokątnym trójkącie Patrzyliśmy na zadania związane z zatoką i kosinką z 1 części OGE. Więc upewnij się.

Okazuje się, że możliwe jest rozwiązanie prostokątnego trójkąta (znalezienie wszystkich stron i ostrych rogów) jest dość proste, znając tylko dwa elementy trójkąta prostokątnego: dwie strony (przez twierdzenie Pitagorów) lub boku i ostry kąt (z definicji zatok, cosinus, styczny).

Ale możliwe jest rozwiązanie trójkąta (znajdź wszystkie strony i kąty) i dowolne, wiedząc Trzy elementy : Trzy boki, dwie boki i kąt lub dwa narożniki i bok.

W pierwszych dwóch przypadkach cieszą się decyzją Twierdzenie Kosineov. (Jest całkiem możliwe, że ten temat czeka na ciebie już w przyszłym tygodniu w szkole, a może już):

W każdym trójkącie, kwadrat jednej strony jest równy sumie kwadratów dwóch innych stron minus podwójnego produktu tych dwóch stron do cosinusu kąta między nimi.

Cosino Twierdzenie w 1 części OGE
  • Jeśli znasz trzy strony trójkąta, możesz znaleźć cosines wszystkich kątów
  • Jeśli znane są dwie strony i kąt między trójkątem, możesz znaleźć stronę trzecią.

W takim przypadku przydatne jest użycie tabeli cosinowych wartości niektórych kątów:

Cosino Twierdzenie w 1 części OGE

Rozważ rozwiązanie problemu nr 11 z kolekcji Yashchenko (36 opcji) na cosinowym twierdzeniu:

Cosino Twierdzenie w 1 części OGE

Będę przedstawić trójkąt ABC i znajdź w nim przeciwną stronę dla kąta ABC.

Cosino Twierdzenie w 1 części OGE

Z postaci jest jasne, że przeciwna strona jest stroną AU.

W części AU napisz twierdzenie Cosine:

Cosino Twierdzenie w 1 części OGE

Zastąp wartości wszystkich boków:

Cosino Twierdzenie w 1 części OGE

Nosi wszystkie "darmowe" liczby (zmiana znaku) na lewo od równości i rozważyć:

Cosino Twierdzenie w 1 części OGE

Znajdź kąt Cosine ABC jako nieznany mnożnik:

Cosino Twierdzenie w 1 części OGE

Zapisz odpowiedź:

Cosino Twierdzenie w 1 części OGE

Jeśli znasz tych, którzy przygotowują się do OGE, nie zapomnij dzielić się z nim te informacje. Zawsze przydatny.

Ciąg dalszy nastąpi...

Nie zapomnij kliknąć palec po przeczytaniu i subskrybować. Za to oddzielne dzięki

(✿◠‿◠)

Cosino Twierdzenie w 1 części OGE

Znaleźliśmy już Cosines kątów trójkątnych na swoich stronach w dowolnym trójkącie i cosinusu o ostrym kącie prostokątnego trójkąta.

Zastanów się, jak znaleźć cosinony narożników trójkąta na jej wierzchołkach.

Zadanie

Danched: ΔAbc,

A (-2; 0), B (6; 1), C (-3; -5).

1) Znajdź cosiny kąta trójkąta ABC;

2) Określ rodzaj trójkąta.

Decyzja:

Kosinusy-Uglov-treugolnik1) Kąt A jest utworzony przez wektory

[wyrośnie {ab} u przystań {ac}.

(Rysunek nie jest konieczny na płaszczyźnie współrzędnych. Wystarczy wykonywać go schematycznie, aby uprościć zrozumienie, który kąt, w jakich wektory powstaje).

W związku z tym,

[cos a = frac {{wyrośnie {ab} cdot fricarrow {ac}}} {{left | {wyrośnie {ab}} prawo | CDOT w lewo | {wyrośnie {ac}} right |}}.

Znajdziemy współrzędne wektory:

[Overtrow {ab} (x_b - x_a; y_b - y_a),

[wyrośnie {ab} (6 - (2); 1 - 0),

[wyrośnie {ab} (8; 1).

[Overtrow {AC} (X_C - X_A; Y_C - Y_A),

[wyrośnie {AC} (- 3 - (- 2); - 5 - 0),

[wyrośnie {AC} (- 1; - 5).

Znajdujemy scalar produkt wektory:

[Wyrośnie {AB} Cdot Prightarrow {AC} = 8 CDOT (- 1) + 1 CDOT (- 5) = - 13.

Ponieważ produkt skalarny jest mniejszy niż zero, kąt utworzony przez te wektory, głupi. Więc trójkąt ABC jest głupi.

Wektor (lub moduły) wektory:

[w lewo | {wyrośnie {ab}} prawo | = sqrt {8 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {65},

[w lewo | {wyrośnie {AC}} Prawo | = sqrt {(- 1) ^ 2 + (- 5) ^ 2} = sqrt {26}.

Stąd

[cos a = frac {{- 13}} {{sqrt {65} cdot sqrt {26}}} = frac {{- 13}} {{sqrt {5 CDOT 13 2 cdot 13}}} =]

[= Frac {{- 13}} {{13 sqrt {10}}} = - frac {1} {{sqrt {10}}} = - frac {{sqrt {10}}} {{10}}.

2) Kąt b jest utworzony przez wektory

[wyrośnie {ba} u \ tonctionarrow {bc}.

W ten sposób,

[cos b = frac {{wyrośnie {ba} cdot forrowrrow {bc}}} {{left | {wyrośnie {ba}} CDOT w lewo | {wyrośnie {bc}} prawy |}}.

Tak jak

[wyrośnie {ba} u frightarrow {ab}

- Wektory przeciwne, ich współrzędne różnią się tylko na znaki, a wektory mają taką samą długość:

[Wyrośnie {AB} (8; 1), w prawej stronie Prightarrow {ba} (- 8; - 1),

[w lewo | {wyrośnie {ba}} = w lewo | {wyrośnie {ab}} prawo | = sqrt {65}.

[wyrośnie {bc} (x_c - x_b; y_c - y_b),]

[Prightarrow {BC} (- 3 - 6; - 5 - 1),

[wyrośnie {bc} (- 9; - 6).]

[Wyrośnie {ba} Cdot Prightarrow {BC} = - 8 CDOT (- 9) + (- 1) CDOT (- 6) = 78.

[w lewo | {wyrośnie {bc}} prawy | = sqrt {(- 9) ^ 2 + (- 6) ^ 2} = sqrt {117}.

[Cos b = frac {{78}} {{sqrt {65} cdot sqrt {117}}} = frac {{13 cdot 6}} {{sqrt {5 CDOT 13 CDOT 9 CDOT 13}}} =

[= Frac {{13 Cdot 6}} {{13 CDOT 3 SQRT 5}} = frac {2} {{sqrt 5}} = frac {{2 sqrt 5}} {5 }.]

3) Corner C jest utworzony przez wektory

[wyrośnie {Ca} U \ octionarrow {CB}

[c = frac {{wyrośnie {CA} CDOT PROJEKTARROW {CB}}} {{Left | {wyrośnie {Ca}} Prawo | CDOT w lewo | {wyrośnie {cb}} right |}}.

[Wyrośnie {AC} (- 1; - 5), w prawym półroczu Prightarrow {CA} (1; 5),

[Prightarrow {BC} (- 9; - 6), w prawym półroczu Prightarrow {CB} (9; 6),

[w lewo | {wyrośnie {Ca}} Prawo | = w lewo | {wyrośnie {AC}} Prawo | = sqrt {26},]

[w lewo | {wyrośnie {cb}} prawy | = w lewo | {wyrośnie {bc}} prawy | = sqrt {117},]

[wyrośnie {CA} CDOT Overtrowa {CB} = 1 CDOT 9 + 5 CDOT 6 = 39.

[c = frac {{39}} {{sqrt {26} cdot sqrt {117}}} = frac {{13 cdot 3}} {{sqrt {2 CDOT 13 CDOT 9 CDOT 13}}} =

[= Frac {{13 cdot 3}} {{13 Cdot 3 sqrt 2}} = frac {1} {{sqrt 5}} = frac {{sqrt 5}} {5} .]

Odpowiedź:

[cos a = - frac {{sqrt {10}}} {{10}}, cos b = frac {{2 sqrt 5}} {5}, cos c = frac {{ Sqrt 5}} {5};]

ΔAbc - głupi.

Добавить комментарий