Cosine theorem i 1 del av oge

I artikkelen Om en rektangulær trekant Vi så på oppgavene som er forbundet med sinus og cosinese fra 1 del av The Oge. Så vær sikker på å se.

Det viser seg at det er mulig å løse en rektangulær trekant (å finne alle sider og skarpe hjørner) er ganske enkelt, og kjenner bare to elementer av en rektangulær trekant: to sider (av Pythagoree theorem) eller side og akutt vinkel (fra definisjonene av sinus, cosine, tangent).

Men det er mulig å løse trekanten (finn alle sider og vinkler) og vilkårlig, å vite Tre elementer : Tre sider, to sider og vinkel, eller to hjørner og side.

For de to første sakene i beslutningen nyter Kosineov theorem. (Det er ganske mulig at dette emnet venter på deg allerede neste uke på skolen, og kanskje allerede):

I en trekant er torget på den ene siden lik summen av firkantene til de to andre partene minus det dobbelte produktet av disse to sidene til vinkelenes cosinus mellom dem.

Cosine theorem i 1 del av oge
  • Hvis du vet tre sider av trekanten, kan du finne cosines av alle vinkler
  • Hvis to sider og vinkel mellom trekanten er kjent, kan du finne en tredjepart.

I dette tilfellet er det nyttig å bruke tabellen med cosine-verdier av enkelte vinkler:

Cosine theorem i 1 del av oge

Vurder løsningen av problemet nr. 11 fra samlingen av Yashchenko (36 alternativer) på Cosine Theorem:

Cosine theorem i 1 del av oge

Jeg vil skildre ABC-trekanten og finne i motsatt side for ABCs vinkel.

Cosine theorem i 1 del av oge

Fra figuren er det klart at motsatt side er siden av AU.

For den delen av Au, skriv Cosine Theorem:

Cosine theorem i 1 del av oge

Erstatte verdiene til alle sider:

Cosine theorem i 1 del av oge

Vi bærer alle "gratis" tallene (endrer tegnet) til venstre for likestillingen og vurderer:

Cosine theorem i 1 del av oge

Finn en Cosine Angle ABC som en ukjent multiplikator:

Cosine theorem i 1 del av oge

Ta opp svaret:

Cosine theorem i 1 del av oge

Hvis du kjenner de som forbereder seg på oge, ikke glem å dele med den denne informasjonen. Alltid nyttig.

Fortsettelse følger...

Ikke glem å klikke på fingeren din etter å ha lest og abonner. For denne separate takk

(✿◠‿◠)

Cosine theorem i 1 del av oge

Vi har allerede funnet cosines av trekantvinkler på sine parter i en vilkårlig trekant og cosinus av en akutt vinkel på en rektangulær trekant.

Vurder hvordan du finner cosines av trekantens hjørner på sine hjørner.

En oppgave

Danched: ΔABC,

A (-2; 0), b (6; 1), C (-3; -5).

1) Finn cosines av ABC Triangle vinkler;

2) Bestem typen trekant.

Beslutning:

Kosinusy-Uglov-Treugolnika1) vinkel A er dannet av vektorer

\ [\ BevareRow {AB} U \ BevaringArrow {AC}. \]

(Tegningen er ikke nødvendig på koordinatplanet. Det er nok å utføre det skjematisk for å forenkle forståelsen, hvilken vinkel ved hvilke vektorer som er dannet).

Dermed,

\ [\ cos a = \ frac {{\ usightarrow {ab} \ cdot \ udelingArrow {AC}}} {{\ venstre | {\ BevareRow {AB}} \ Høyre | \ Cdot \ venstre | {\ BevareRow {AC}} \ Høyre |}}. \]

Vi vil finne koordinatene til vektorene:

\ [\ overvanning {ab} (x_b - x_a; y_b - y_a), \]

\ [\ overvanning {ab} (6 - (- 2); 1 - 0), \]

\ [\ overvanning {ab} (8; 1). \]

\ [\ BevareRow {AC} (X_C - X_A; Y_C - Y_A), \]

\ [\ Bevarker {AC} (- 3 - (- 2); - 5 - 0), \]

\ [\ Bevarker {AC} (- 1; - 5). \]

Vi finner et skalarprodukt av vektorer:

\ [\ Oppturner {AB} \ CDOT \ BevaringArrow {AC} = 8 \ CDOT (- 1) + 1 \ CDOT (- 5) = - 13. \]

Siden skalarproduktet er mindre enn null, en vinkel dannet av disse vektorene, dumme. Så ABC-trekanten er dum.

Vektor (eller moduler) av vektorer:

\ [\ venstre | {\ BevareRow {AB}} \ Høyre | = \ sqrt {8 ^ 2 + 1 ^ 2} = \ sqrt {65}, \]

\ [\ venstre | {\ BevareRow {AC}} \ Høyre | = \ sqrt {(- 1) ^ 2 + (- 5) ^ 2} = \ sqrt {26}. \]

Herfra

\ [\ cos a = \ frac {{- 13}} {{\ sqrt {65} \ cdot \ sqrt {26}}} = \ frac {{- 13}} {{\ sqrt {5 \ cdot 13 \ cdot 2 \ cdot 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{- 13}} {{13 \ sqrt {10}}} = - \ frac {1} {{\ sqrt {10}}} = - \ frac {{\ sqrt {10}}} {{10}}. \]

2) Vinkel B er dannet av vektorer

\ [\ overturarow {ba} u \ overvanning {bc}. \]

På denne måten,

\ [\ cos b = \ frac {{\ overstyrtarow {ba} \ cdot \ overvann {bc}}} {{\ venstre | {\ BevareRow {BA}} \ Høyre | \ Cdot \ venstre | {\ BevareRow {BC}} \ Høyre |}}. \]

Som

\ [\ overturarow {ba} u \ overvanning {ab} \]

- motsatte vektorer, deres koordinater varierer bare på tegn og vektorer har samme lengde:

\ [\ overvanning {ab} (8; 1), \ retarrow \ overvann {ba} (- 8; - 1), \]

\ [\ venstre | {\ BevareRow {BA}} \ Høyre | = \ venstre | {\ BevareRow {AB}} \ Høyre | = \ sqrt {65}. \]

\ [\ BevareRow {BC} (X_C - X_B; Y_C - Y_B), \]

\ [\ Bevarker {BC} (- 3 - 6; - 5 - 1), \]

\ [\ overvanning {bc} (- 9; - 6). \]

\ [\ BevareRow {BA} \ CDOT \ Bevarker {BC} = - 8 \ CDOT (- 9) + (- 1) \ CDOT (- 6) = 78. \]

\ [\ venstre | {\ BevareRow {BC}} \ Høyre | = \ sqrt {(- 9) ^ 2 + (- 6) ^ 2} = \ sqrt {117}. \]

\ [\ Cos b = \ frac {{78}} {{\ sqrt {65} \ cdot \ sqrt {117}}} = \ frac {{13 \ cdot 6}} {{\ sqrt {5 \ cdot 13 \ CDOT 9 \ CDOT 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{13 \ cdot 6}} {{13 \ cdot 3 \ sqrt 5}} = \ frac {2} {{\ sqrt 5}} = \ frac {{2 \ sqrt 5}} {5 }. \]

3) Corner C dannes av vektorer

\ [\ Bevarker {CA} U \ Bevarker {CB}, \]

\ [\ cos c = \ frac {{\ usightarrow {ca} \ cdot \ overvann {cb}}} {{\ venstre | {\ BevareRow {CA}} \ Høyre | \ Cdot \ venstre | {\ BevareRow {CB}} \ Høyre |}}. \]

\ [\ Bevarker {AC} (- 1; - 5), \ HøyreArrow \ Bevarker {CA} (1; 5), \]

\ [\ overvann {bc} (- 9; - 6), \ retarrow \ overvann {cb} (9; 6), \]

\ [\ venstre | {\ BevareRow {CA}} \ Høyre | = \ venstre | {\ BevareRow {AC}} \ Høyre | = \ sqrt {26}, \]

\ [\ venstre | {\ BevareRow {CB}} \ Høyre | = \ venstre | {\ BevareRow {BC}} \ Høyre | = \ sqrt {117}, \]

\ [\ Bevarker {CA} \ CDOT \ BevaringArrow {CB} = 1 \ CDOT 9 + 5 \ CDOT 6 = 39. \]

\ [\ cos c = \ frac {{39}} {{{{39 {26} \ cdot \ sqrt {117}}} = \ frac {{13 \ cdot 3}} {{\ sqrt {2 \ cdot 13 \ CDOT 9 \ CDOT 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{13 \ cdot 3}} {{13 \ cdot 3 \ sqrt 2}} = \ frac {1} {{\ sqrt 5}} = \ frac {{\ sqrt 5}} {5} . \]

Svar:

\ [\ cos a = - \ frac {{\ sqrt {10}}} {{10}}, {{{10}}, \ cos b = \ frac {{2 \ sqrt 5}} {5}, \ cos c = \ frac {{{{ \ Sqrt 5}} {5}; \]

ΔABC - dum.

Добавить комментарий