Teorema del coseno in 1 parte di OGE

Nell'articolo Su un triangolo rettangolare Abbiamo esaminato i compiti associati al seno e alla cosinese da 1 parte dell'OGE. Quindi assicurati di guardare.

Si scopre che è possibile risolvere un triangolo rettangolare (trovare tutti i lati e gli angoli acuti) è abbastanza semplice, sapendo solo due elementi di un triangolo rettangolare: due lati (dal teorema del pithagoree) o angolo laterale e acuto (dalle definizioni di seno, coseno, tangente).

Ma è possibile risolvere il triangolo (trova tutti i lati e gli angoli) e arbitrario, sapendo Tre elementi : Tre lati, due lati e angolo o due angoli e lato.

Per i primi due casi nella decisione godere Teorema del Kosineov (È possibile che questo argomento ti stia aspettando già la prossima settimana a scuola, e forse già):

In qualsiasi triangolo, il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle altre due parti meno il doppio prodotto di questi due lati al coseno dell'angolo tra loro.

Teorema del coseno in 1 parte di OGE
  • Se conosci tre lati del triangolo, puoi trovare cosine di tutti gli angoli
  • Se sono noti due lati e angoli tra il triangolo, puoi trovare una terza parte.

In questo caso, è utile usare la tabella dei valori del coseno di alcuni angoli:

Teorema del coseno in 1 parte di OGE

Considera la soluzione del problema n. 11 dalla collezione di Yashchenko (36 opzioni) sul teorema del coseno:

Teorema del coseno in 1 parte di OGE

Descriverò il triangolo ABC e troverò in esso il lato opposto per l'angolo di ABC.

Teorema del coseno in 1 parte di OGE

Dalla figura è chiaro che il lato opposto è il lato dell'AU.

Per la parte dell'UU, scrivi il teorema del coseno:

Teorema del coseno in 1 parte di OGE

Sostituire i valori di tutti i lati:

Teorema del coseno in 1 parte di OGE

Portiamo tutti i numeri "liberi" (cambiando il segno) a sinistra dell'uguaglianza e considerare:

Teorema del coseno in 1 parte di OGE

Trova un angolo del coseno ABC come moltiplicatore sconosciuto:

Teorema del coseno in 1 parte di OGE

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Teorema del coseno in 1 parte di OGE

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Teorema del coseno in 1 parte di OGE

Abbiamo già trovato cosine degli angoli triangolari sulle sue feste in un triangolo arbitrario e coseno di un angolo acuto di un triangolo rettangolare.

Considera come trovare i cosine degli angoli del triangolo sui suoi vertici.

Un compito

Danched: ΔABC,

A (-2; 0), B (6; 1), C (-3; -5).

1) Trova i cosini degli angoli del triangolo ABC;

2) Determina il tipo di triangolo.

Decisione:

Kosinusy-ugrov-Treugolnika1) Angolo A è formato da vettori

\ [\ Everligerow {AB} u \ Everligerow {AC}. \]

(Il disegno non è necessario sul piano di coordinate. È sufficiente eseguire schematicamente per semplificare la comprensione, quale angolo di ciò che si forma i vettori).

Quindi,

\ [\ cos a = \ frac {{\ \ overigityarrow {ab} \ cdot \ overigitarrow {ac}}} {{\ Sinistra | {\ Everligrow {AB}} \ Destra | \ Cdot \ Sinistra | {\ Everlightarrow {AC}} \ Destra |}}. \]

Troveremo le coordinate dei vettori:

\ [\ godertorrow {ab} (x_b - x_a; y_b - y_a), \]

\ [\ Everligerow {AB} (6 - (- 2); 1 - 0), \];

\ [\ Everligerow {AB} (8; 1). \]

\ [\ Everligerow {ac} (x_c - x_a; y_c - y_a), \]

\ [\ Everligerow {AC} (- 3 - (- 2); - 5 - 0), \]

\ [\ Everligerow {AC} (- 1; - 5). \]

Troviamo un prodotto scalare di vettori:

\ [\ Everligerow {AB} \ Cdot \ EverlightRarrow {AC} = 8 \ CDOT (- 1) + 1 \ CDOT (- 5) = - 13. \]

Poiché il prodotto scalare è inferiore a zero, un angolo formato da questi vettori, stupidi. Quindi il triangolo ABC è stupido.

Vector (o moduli) dei vettori:

\ [\ Sinistra | {\ Everligrow {AB}} \ Destra | = \ SQRT {8 ^ 2 + 1 ^ 2} = \ SQRT {65}, \]

\ [\ Sinistra | {\ EverigiTarrow {AC}} \ Destra | = \ sqrt {(- 1) ^ 2 + (- 5) ^ 2} = \ sqrt {26}. \]

Da qui

\ [\ cos a = \ frac {{{{13}} {{\ sqrt {65} \} clot \ sqrt {26}}} = \ frac {{} {{{13}} {{\ SQRT {5 \ CDOT 13 \ CDOT 2 \ cdot 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{{13}} {{13}} {{13 \ sqrt {10}}} = - \ frac {1} {{\ sqrt {10}}} = - \ frac {{\ sqrt {10}}} {{10}}. \]

2) L'angolo B è formato da vettori

\ [\ EverlightRarrow {BA} u \ Everligerow {BC}. \]

In questo modo,

\ [\ cos B = \ frac {{\ \ overigitarrow {ba} \ cdot \ overigitarrow {bc}}} {{\ Sinistra | {\ OverigiTarrow {BA}} \ Destra | \ Cdot \ Sinistra | {\ Everligrow {BC}} \ Destra |}}. \]

Come

\ [\ Everligerow {BA} u \ Everligerow {AB} \]

- Vettori opposti, le loro coordinate differiscono solo su segni e vettori hanno la stessa lunghezza:

\ [\ Everligerow {AB} (8; 1), \ RightArrow \ Everligerow {BA} (- 8; - 1), \]

\ [\ Sinistra | {\ OverigiTarrow {BA}} \ Destra | = \ Sinistra | {\ Everligrow {AB}} \ Destra | = \ sqrt {65}. \]

\ [\ godertorrow {bc} (x_c - x_b; y_c - y_b), \]

\ [\ Everligerow {BC} (- 3 - 6; - 5 - 1), \]

\ [\ Everligerow {BC} (- 9; - 6). \]

\ [\ EverlightRarrow {BA} \ CDOT \ EverigiTarrow {BC} = - 8 \ CDOT (- 9) + (- 1) \ Cdot (- 6) = 78. \]

\ [\ Sinistra | {\ Everligerow {BC}} \ Destra | = \ sqrt {(- 9) ^ 2 + (- 6) ^ 2} = \ sqrt {117}. \]

\ [\ Cos B = \ frac {{78}} {{\ sqrt {65} \} clot \ sqrt {117}}} = \ frac {{13 \ clot 6}} {{\ sqrt {5 \ cdot 13 \ Cdot 9 \ cdot 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{13 \ clot 6}} {{13 \ cdot 3 \ sqrt 5}} = \ frac {2} {{\ sqrt 5}} = \ frac {{2 \ sqrt 5}} {5 }. \]

3) L'angolo C è formato da vettori

\ [\ EverlightRarrow {ca} u \ overtyarrow {cb}, \]

\ [\ cos c = \ frac {{\ \wlightarrow {ca} \ clot \ overigitarrow {cb}}} {{\ Sinistra | {\ Everlightarrow {ca}} \ Destra | \ Cdot \ Sinistra | {\ Everligrow {cb}} \ Destra |}}. \]

\ [\ Everligerow {AC} (- 1; - 5), \ RightArrow \ EverigiTarrow {CA} (1; 5), \]

\ [\ Everligarmow {BC} (- 9; - 6), \ RightArrow \ EverigiTarrow {cb} (9; 6), \]

\ [\ Sinistra | {\ Everlightarrow {ca}} \ Destra | = \ Sinistra | {\ EverigiTarrow {AC}} \ Destra | = \ sqrt {26}, \]

\ [\ Sinistra | {\ Everlightarrow {cb}} \ Destra | = \ Sinistra | {\ Everligerow {BC}} \ Destra | = \ sqrt {117}, \]

\ [\ EverlightRarrow {CA} \ Cdot \ EverigiTarrow {cb} = 1 \ cdot 9 + 5 \ cdot 6 = 39. \]

\ [\ cos c = \ frac {{39}} {{\ sqrt {26} \ clot \ sqrt {117}}} = \ frac {{13 \ clot 3}} {{\ sqrt {2 \ cdot 13 \ Cdot 9 \ cdot 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{13 \ clot 3}} {\ {13 \ cdot 3 \ sqrt 2}} = \ frac {1} {{\ sqrt 5}} = \ frac {{\ sqrt 5}} {5} . \]

Risposta:

\ [\ cos a = - \ frac {{\ sqrt {10}}} {{10}}}} {10}}, \ cos b = \ frac {{2 \ sqrt 5}} {5}, \ cos c = \ frac {{{{{ \ Sqrt 5}} {5}; \]

ΔABC - stupido.

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