COSINE tétel az OgE 1 részében

A cikkben Egy téglalap alakú háromszögről Megnéztük a sinushoz és a kozbályúhoz kapcsolódó feladatokat az OgE 1 részéből. Szóval győződjön meg róla, hogy nézzen.

Kiderül, hogy lehet megoldani egy téglalap alakú háromszöget (az összes oldal és az éles sarkok megtalálása) meglehetősen egyszerű, csak egy téglalap alakú háromszög két eleme: két oldal (a pythagoree tétel) vagy az oldalsó és akut szög (a definíciókból) sinus, cosine, tangens).

De lehetséges megoldani a háromszöget (megtalálja az összes oldalt és szöget) és önkényes, tudva Három elem : Három oldal, két oldal és szög, vagy két sark és oldal.

A döntés első két esetben élvezze Kosineov Tétel (Teljesen lehetséges, hogy ez a téma már a jövő héten várja Önt az iskolában, és talán már):

Bármely háromszögben az egyik oldal négyzete megegyezik a két másik fél négyzeteinek összegével, melynek két oldala kettős terméke a közöttük lévő szög koszinusához van.

COSINE tétel az OgE 1 részében
  • Ha ismeri a háromszög három oldalát, megtalálhatja az összes szögben
  • Ha két oldal és szög a háromszög között ismert, akkor talál egy harmadik fél.

Ebben az esetben hasznos használni a néhány szög koszinuszértékét:

COSINE tétel az OgE 1 részében

Fontolja meg a 11. számú probléma megoldását a koszinusz tételből származó Yashchenko (36 opció) gyűjteményéből:

COSINE tétel az OgE 1 részében

Az ABC háromszöget ábrázolok, és megtalálom az ellenkező oldalon az ABC szögét.

COSINE tétel az OgE 1 részében

Az ábrán látható, hogy az ellenkező oldal az AU oldala.

Az AU részére írja be a COSINE tételét:

COSINE tétel az OgE 1 részében

Az összes oldal értékeinek helyettesítése:

COSINE tétel az OgE 1 részében

Az összes "szabad" számot (a jelet megváltoztatjuk) az egyenlőség bal oldalán, és fontolja meg:

COSINE tétel az OgE 1 részében

Keressen egy Cosine Angle ABC-t, mint ismeretlen szorzót:

COSINE tétel az OgE 1 részében

Rögzítse a választ:

COSINE tétel az OgE 1 részében

Ha ismeri azokat, akik az OgE-hez készülnek, ne felejtsük el megosztani ezzel az információval. Mindig hasznos.

Folytatjuk...

Ne felejtsd el, hogy az olvasás és az előfizetés után kattintson az ujjára. Ehhez külön köre

(✿◠‿◠)

COSINE tétel az OgE 1 részében

Már találtuk meg a háromszög szögeit a felek tetszőleges háromszögében és egy téglalap alakú háromszög akut szögének koszinusában.

Fontolja meg, hogyan lehet megtalálni a háromszög sarkát a csúcsán.

Egy feladat

Danched: ΔABC,

A (-2; 0), B (6; 1), C (-3; -5).

1) Keresse meg az ABC háromszög szögeit;

2) Határozza meg a háromszög típusát.

Döntés:

Kosinusy-Uglov-Treugolnika1) Az A szöget vektorok alkotják

\ [\ overworrow {ab} u, túlterhelés {AC}. \]

(A rajz nem szükséges a koordináta síkon. Elég ahhoz, hogy vázlatosan elvégezzük a megértést, amely szöget képeznek a képződéssel).

Ennélfogva,

\ [go cos a = frac {{\ db overrow {AB} \ cdot \ túlrézár {AC}}} {{\ \ mail | {\ túlterhelés {AB}} \ Jobb | \ CDOT \ lent | {\ OristRow {AC}} \ Jobb |}}. \]

Megtaláljuk a vektorok koordinátáit:

\ [\ overwordrow {AB} (x_b - x_a, y_b - y_a), \]

\ [\ túlterhelés {AB} (6 - (- (- 2); 1 - 0), \]

\ [\ túlterhelés {AB} (8; 1). \]

\ [\ túlrézár {AC} (x_c - x_a, y_c - y_a), \]

\ [\ overworrow {AC} (- 3 - (- 2); - 5 - 0), \]

\ [\ overworrow {AC} (- 1; - 5). \]

A vektorok skaláris termékét találjuk:

\ [\ overworrow {AB} \ CDOT \ OFFRIVERROW {AC} = 8 \ CDOT (- 1) + 1 \ CDOT (- 5) = - 13. \]

Mivel a skaláris termék kevesebb, mint nulla, a vektorok által kialakított szög, hülye. Tehát az ABC háromszög hülye.

Vektor (vagy modulok) vektorok:

\ [\ lent | {\ túlterhelés {AB}} \ Jobb | = SQRT {8 ^ 2 + 1 ^ 2} = \ sqrt {65}, \]

\ [\ lent | {\ OristRow {AC}} \ Jobb | = \ sqrt {(- 1) ^ 2 + (- 5) ^ 2} = \ sQRT {26}. \]

Innen

\ [<cos a = \ frac {{- 13}} {{\ sqrt {65} \ cdot \ sqrt {26}}} = \ frac {{- 13}} {{\ sqrt {5 \ CDOT 13 \ CDOT 2 \ CDOT 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{- 13}} {{13 \ SQRT {10}}} = - \ frac {1} {{\ sqrt {10}}} = - \ frac {{\ SQRT {10}}} {{10}}.]

2) A B szöget vektorok alkotják

\ [\ overworrow {ba} U, túlterhelés {bc}.]

Ilyen módon

\ [/ cos b = frac {{\ overworrow {ba} \ cdot \ overworrow {bc}}} {{\ lent | {\ túlterhelés {ba}} \ jobb | \ CDOT \ Bal | {\ túlterhelés {bc}} \ jobb |}}. \]

Mint

\ [Of Yournessarrow {ba} U elterjesztés {AB} \]

- Az ellentétes vektorok, a koordinátáik csak a jeleknél különböznek, és a vektorok ugyanolyan hosszúak:

\ [\ Overrightarrow {ab} (8; 1), \ rightarrow \ overrightarrow {ba} (- 8, - 1), \]

\ [\ lent | {\ túlterhelés {ba}} \ jobb | = balra | {\ túlterhelés {AB}} \ Jobb | = SQRT {65}. \]

\ [\ Túlfordulás {bc} (x_c - x_b, y_c - y_b), \]

\ [\ Trustarrow {BC} (- 3 - 6; - 5 - 1), \]

\ [\ túlterhelés {bc} (- 9; - 6). \]

\ [\ overworrow {BA} CDOT \ TURNESTROW {BC} = - 8 \ CDOT (- 9) + (- 1) \ CDOT (- 6) = 78. \]

\ [\ lent | {\ OristRow {bc}} \ Jobb | = \ sqrt {(- 9) ^ 2 + (- 6) ^ 2} = SQRT {117}. \]

\ [/ cos b = frac {{78}} {{78}} {{\ sqrt {65} \ CDOT \ sqrt {117}}} = \ frac {{13 \ CDOT 6}} {{{\ sqrt {5 \ CDOT 13 \ CDOT 9 \ CDOT 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{13 \ cdot 6}} {{13 \ cdot 3 \ SQRT 5}} = \ frac {2} {{\ SQRT 5}} = \ frac {{2 \ SQRT 5}} {5 }. \]

3) A C sarcokat vektorok alkotják

bekapcsolás {ca} u, túlterhelés {cb}, \]

\ [cos c = frac {{\ overworrow {ca} \ cdot \ túlterhelés {cb}}} {{\ \ mail | {\ túlterhelés {ca}} \ jobb | \ CDOT \ Bal | {\ OristRow {cb}} \ jobb |}}. \]

\ [\ Overrightarrow {AC} (- 1, - 5), \ rightarrow \ overrightarrow {ca} (1, 5), \]

\ [\ overworrow {bc} (- 9; - 6), \ Requarrow \ Túlfordulás {CB} (9; 6), \]

\ [\ lent | {\ túlterhelés {ca}} \ jobb | = balra | {\ OristRow {AC}} \ Jobb | = SQRT {26}, \]

\ [\ lent | {\ db túlterhelés {cb}} \ jobb | = balra | {\ OristRow {bc}} \ Jobb | = SQRT {117}, \]

\ [\ Overrightarrow {ca} \ cdot \ overrightarrow {CB} = 1 \ cdot 9 + 5 \ cdot 6 = 39. \]

\ [<cos c = frac {{39}} {{\ sqrt {26} \ cdot \ sqrt {117}}} = \ flac {{13 \ CDOT 3}} {{\ sqrt {2 \ cdot 13 CDOT 9 \ CDOT 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{13 \ CDOT 3}} {{13 \ CDOT 3 \ sQRT 2}} = \ frac {1} {{{\ sqrt 5}} = \ frac {{\ sqrt 5}} {5} .]

Válasz:

\ [\ cos a = - \ frac {{\ sqrt {10}}} {{10}}, \ cos b = \ frac {{2 \ sqrt 5}} {5}, \ cos c = \ frac {{ \ Sqrt 5}} {5}; \]

Δabc - hülye.

Добавить комментарий