कोसाइन प्रमेय ओगे के 1 भाग में

लेख में एक आयताकार त्रिकोण के बारे में हमने ओजीई के 1 भाग से साइनस और कोसाइनी से जुड़े कार्यों को देखा। तो देखना सुनिश्चित करें।

यह पता चला है कि एक आयताकार त्रिकोण (सभी पक्षों और तेज कोनों को ढूंढना) को हल करना संभव है, एक आयताकार त्रिभुज के केवल दो तत्वों को जानना: दो पक्ष (पाइथागोरी प्रमेय द्वारा) या पक्ष और तीव्र कोण (परिभाषाओं से) साइनस, कोसाइन, टेंगेंट)।

लेकिन त्रिभुज को हल करना संभव है (सभी पक्षों और कोणों को ढूंढें) और मनमाने ढंग से, जानना तीन तत्व : तीन पक्ष, दो पक्ष और कोण, या दो कोनों और पक्ष।

निर्णय में पहले दो मामलों के लिए कोसिनेव प्रमेय (यह काफी संभव है कि यह विषय आपके लिए पहले से ही अगले हफ्ते स्कूल में इंतजार कर रहा है, और शायद पहले से ही):

किसी भी त्रिभुज में, एक तरफ का वर्ग दो अन्य पार्टियों के वर्गों के योग के बराबर होता है, इन दोनों पक्षों के डबल उत्पाद को उनके बीच कोण के कोसाइन में जोड़ता है।

कोसाइन प्रमेय ओगे के 1 भाग में
  • यदि आप त्रिभुज के तीन पक्ष जानते हैं, तो आप सभी कोणों के कोसाइन पा सकते हैं
  • यदि त्रिभुज के बीच दो पक्ष और कोण ज्ञात हैं, तो आप एक तीसरी पार्टी पा सकते हैं।

इस मामले में, कुछ कोणों के कोसाइन मूल्यों की तालिका का उपयोग करने के लिए उपयोगी है:

कोसाइन प्रमेय ओगे के 1 भाग में

कोसाइन प्रमेय पर Yashchenko (36 विकल्प) के संग्रह से समस्या संख्या 11 के समाधान पर विचार करें:

कोसाइन प्रमेय ओगे के 1 भाग में

मैं एबीसी त्रिकोण को चित्रित करूंगा और एबीसी के कोण के लिए विपरीत पक्ष में पाया।

कोसाइन प्रमेय ओगे के 1 भाग में

आकृति से यह स्पष्ट है कि विपरीत पक्ष एयू का पक्ष है।

एयू के हिस्से के लिए, कोसाइन प्रमेय लिखें:

कोसाइन प्रमेय ओगे के 1 भाग में

सभी पक्षों के मूल्यों को प्रतिस्थापित करें:

कोसाइन प्रमेय ओगे के 1 भाग में

हम समानता के बाईं ओर सभी "मुक्त" संख्याओं (संकेत को बदलते हुए) लेते हैं और विचार करते हैं:

कोसाइन प्रमेय ओगे के 1 भाग में

एक अज्ञात गुणक के रूप में एक कोसाइन कोण एबीसी खोजें:

कोसाइन प्रमेय ओगे के 1 भाग में

उत्तर रिकॉर्ड करें:

कोसाइन प्रमेय ओगे के 1 भाग में

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कोसाइन प्रमेय ओगे के 1 भाग में

हमने पहले से ही एक आयताकार त्रिभुज के एक गंभीर कोण की मनमानी त्रिकोण और कोसाइन में अपने पार्टियों पर त्रिभुज कोणों के कोसाइन्स पाया है।

विचार करें कि त्रिभुज के कोनों के कोनों की कोनों को कैसे ढूंढें।

एक कार्य

Danched: δabc,

एक (-2; 0), बी (6; 1), सी (-3; -5)।

1) एबीसी त्रिकोण कोणों के कोसाइन खोजें;

2) त्रिभुज के प्रकार का निर्धारण करें।

फेसला:

कोसिनुसी-यूग्लोव-ट्रेगोलनिका1) कोण ए वेक्टर द्वारा गठित किया गया है

\ [\ overrightarrow {ab} u \ overrightarrow {ac}। \]

(समन्वय विमान पर ड्राइंग आवश्यक नहीं है। समझ को सरल बनाने के लिए इसे योजनाबद्ध रूप से करने के लिए पर्याप्त है, जो कि वैक्टर बनने के द्वारा कोण द्वारा कोण)।

इसलिये,

\ [\ cos a = \ frac {{\ overrightarrow {ab} \ cdot \ overrightarrow {ac}}} {{\ left | {\ overrightarrow {ab}} \ राइट | \ Cdot \ Left | {\ overrightarrow {ac}} \ राइट |}}। \]

हम वैक्टर के निर्देशांक पाएंगे:

\ [\ overrightarrow {ab} (x_b - x_a; y_b - y_a), \]

\ [\ overrightarrow {ab} (6 - (- 2); 1 - 0), \]

\ [\ overrightarrow {ab} (8; 1)। \]

\ [\ overrightarrow {ac} (x_c - x_a; y_c - y_a), \]

\ [\ overrightarrow {एसी} (- 3 - (- 2); - 5 - 0), \]

\ [\ overrightarrow {ac} (- 1; - 5)। \]

हमें वैक्टर का एक स्केलर उत्पाद मिलता है:

\ [\ Overrightarrow {अब} \ सी-डॉट \ overrightarrow {एसी} = 8 \ सी-डॉट (- 1) + 1 \ सी-डॉट (- 5) = - 13. \]

चूंकि स्केलर उत्पाद शून्य से कम है, इन वैक्टरों द्वारा बनाई गई कोण, बेवकूफ। तो एबीसी त्रिभुज बेवकूफ है।

वेक्टर (या मॉड्यूल) वैक्टर:

\ [\ Left | {\ overrightarrow {ab}} \ राइट | = \ sqrt {8 ^ 2 + 1 ^ 2} = \ sqrt {65}, \]

\ [\ Left | {\ overrightarrow {ac}} \ राइट | = \ Sqrt {(- 1) ^ 2 + (- 5) ^ 2} = \ sqrt {26} \]।

यहां से

\ [\ cos a = \ frac {{- 13}} {{\ sqrt {65} \ cdot \ sqrt {26}}} = \ frac {{- 13}} {{\ sqrt {5 \ cdot 13 \ cdot 2 \ cdot 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{- 13}} {{13 \ sqrt {10}}} = - \ frac {1} {{\ sqrt {10}}} = - \ frac {{\ sqrt {10}}} {{10}}। \]

2) कोण बी वेक्टर द्वारा बनाई गई है

\ [\ overrightarrow {ba} u \ overrightarrow {bc}। \]

इस तरह,

\ [\ बी = \ frac क्योंकि {{\ overrightarrow {बा} \ सी-डॉट \ overrightarrow {बीसी}}} {{\ छोड़ दिया | {\ overrightarrow {ba}} \ राइट | \ Cdot \ Left | {\ overrightarrow {bc}} \ राइट |}}। \]

जैसा

\ [\ overrightarrow {ba} u \ overrightarrow {ab} \]

- विपरीत वैक्टर, उनके निर्देशांक केवल संकेतों पर भिन्न होते हैं और वैक्टरों की लंबाई समान होती है:

\ [\ overrightarrow {ab} (8; 1), \ राइटारो \ overrightarrow {ba} (- 8; - 1), \]

\ [\ Left | {\ overrightarrow {ba}} \ राइट | = \ Left | {\ overrightarrow {ab}} \ राइट | = \ sqrt {65}। \]

\ [\ overrightarrow {bc} (x_c - x_b; y_c - y_b), \]

\ [\ overrightarrow {bc} (- 3 - 6; - 5 - 1), \]

\ [\ overrightarrow {bc} (- 9; - 6)। \]

\ [\ Overrightarrow {बा} \ सी-डॉट \ overrightarrow {बीसी} = - 8 \ सी-डॉट (- 9) + (- 1) \ सी-डॉट (- 6) = 78 \]

\ [\ Left | {\ overrightarrow {bc}} \ राइट | = \ sqrt {(- 9) ^ 2 + (- 6) ^ 2} = \ sqrt {117}। \]

\ [\ Cos b = \ frac {{78}} {{\ sqrt {65} \ cdot \ sqrt {117}}} = \ frac {{13 \ cdot 6}} {{\ sqrt {5 \ cdot 13 \ सीडीओटी 9 \ सीडीओटी 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{13 \ cdot 6}} {{13 \ cdot 3 \ sqrt 5}} = \ frac {2} {{\ sqrt 5}} = \ frac {{2 \ sqrt 5}} {5 }। \]

3) कोने सी को वैक्टर द्वारा बनाया गया है

\ [\ overrightarrow {ca} u \ overrightarrow {cb}, \]

\ [\ क्योंकि सी = \ frac {{\ overrightarrow {सीए} \ सी-डॉट \ overrightarrow {सीबी}}} {{\ छोड़ दिया | {\ overrightarrow {ca}} \ राइट | \ Cdot \ Left | {\ overrightarrow {cb}} \ राइट |}}। \]

\ [\ Overrightarrow {एसी} (- 1 - 5), \ rightArrow \ overrightarrow (1; 5) {} सीए, \]

\ [\ overrightarrow {bc} (- 9; - 6), \ राइटारो \ overrightarrow {cb} (9; 6), \]

\ [\ Left | {\ overrightarrow {ca}} \ राइट | = \ Left | {\ overrightarrow {ac}} \ राइट | = \ sqrt {26}, \]

\ [\ Left | {\ overrightarrow {cb}} \ अधिकार | = \ Left | {\ overrightarrow {bc}} \ राइट | = \ sqrt {117}, \]

\ [\ Overrightarrow {सीए} \ सी-डॉट \ overrightarrow {सीबी} = 1 \ सी-डॉट 9 + 5 \ सी-डॉट 6 = 39 \]

\ [\ cos c = \ frac {{39}} {{\ sqrt {26} \ cdot \ sqrt {117}}} = \ frac {{13 \ cdot 3}} {{\ sqrt {2 \ cdot 13 \ सीडीओटी 9 \ सीडीओटी 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{13 \ सी-डॉट 3}} {{13 \ सी-डॉट 3 \ sqrt 2}} = \ frac {1} {{\ sqrt 5}} = \ frac {{\ sqrt 5}} {5} । \]

उत्तर:

\ [\ क्योंकि एक = - \ frac {{\ sqrt {10}}} {{10}}, \ क्योंकि ख = \ frac {{2 \ sqrt 5}} {5}, \ क्योंकि सी = \ frac {{ \ Sqrt 5}} {5}; \]

ΔABC - बेवकूफ।

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