Cosine Theorem 1 osa OGE

Artikkelissa Tietoja suorakulmaisesta kolmion Tarkastelimme tehtäviä, jotka liittyvät sinusiin ja kosiniin 1 osasta OGE: ta. Joten muista näyttää.

On osoittautunut, että on mahdollista ratkaista suorakaiteen muotoinen kolmio (löytää kaikki sivut ja terävät kulmat) on melko yksinkertainen, tietäen vain kaksi suorakulmion kolmiota: kaksi sivua (pythagoree teoremin) tai sivun ja akuutin kulman (määritelmistä) sinus, kosini, tangentti).

Mutta on mahdollista ratkaista kolmio (löytää kaikki puolet ja kulmat) ja mielivaltaiset, tietäen Kolme elementtiä : Kolme puolta, kaksi puolta ja kulmaa tai kaksi kulmaa ja sivua.

Päätöksen ensimmäiset kaksi tapausta Kosineov teoremi (On täysin mahdollista, että tämä aihe odottaa sinua jo ensi viikolla koulussa ja ehkä jo):

Kaikissa kolmioissa yhden puolen neliö on yhtä suuri kuin kahden muun osapuolen neliöiden summa, joka minus näiden kahden puolen kaksinkertainen tuote on kulman välissä.

Cosine Theorem 1 osa OGE
  • Jos tiedät kolmion kolme puolta, löydät kaikki näkökulmat
  • Jos kaksi puolta ja kulma kolmioon tunnetaan, niin löydät kolmannen osapuolen.

Tässä tapauksessa on hyödyllistä käyttää joidenkin kulmien kosiniarvojen taulukkoa:

Cosine Theorem 1 osa OGE

Harkitse ongelman nro 11 ratkaisua Yastincenkon kokoelmasta (36 vaihtoehtoa) Cosine Theorem:

Cosine Theorem 1 osa OGE

Kuvittelen ABC-kolmiota ja löydän sen vastakkaiselta puolelta ABC: n kulmassa.

Cosine Theorem 1 osa OGE

Kuviosta on selvää, että vastakkaispuoli on AU: n sivu.

AU: n osassa kirjoita kosini-lause:

Cosine Theorem 1 osa OGE

Korvaa kaikkien sivujen arvot:

Cosine Theorem 1 osa OGE

Meillä on kaikki "ilmaiset" numerot (muuttamalla merkkiä) tasa-arvon vasemmalle ja harkita:

Cosine Theorem 1 osa OGE

Etsi kosinin kulma ABC tuntemattoman kerran:

Cosine Theorem 1 osa OGE

Tallenna vastaus:

Cosine Theorem 1 osa OGE

Jos tiedät ne, jotka valmistautuvat ogeen, älä unohda jakaa sitä näiden tietojen kanssa. Aina hyödyllinen.

Jatkuu...

Älä unohda napsauttaa sormeasi lukemisen jälkeen ja tilata. Tätä erillistä kiitosta

(✿◠‿◠)

Cosine Theorem 1 osa OGE

Olemme jo löytäneet kolmio-kulmat osapuoltensa mielivaltaisessa kolmion ja suolakulmaisen kolmion akuutin kulman kosinassa.

Harkitse, kuinka löytää kolmiojen kulmien kosineet sen huippupisteissä.

Tehtävä

Danched: ΔABC,

A (-2; 0), B (6; 1), C (-3; -5).

1) Etsi ABC Triangle -kulmien kosinut;

2) Määritä kolmiotyyppi.

Päätös:

Kosinusy-Uglov-Treugolnika1) Vektorilla muodostuu kulma A

\ [\ verhorighTurrow {ab} u \ verikollinen {ac}. \]

(Piirustus ei ole välttämätöntä koordinaattitasolla. Riittää, että se kaavamaisesti yksinkertaistaa ymmärrystä, mikä kulma mitkä vektorit muodostetaan).

Siten,

\ [\ cos a = \ frac {{\ verikokoiset {abs {\ verhorighTurrow {ab}} \ oikea \ Cdot \ Vasen {\ verhorighTurrow {ac}} \ oikea.}}. \]

Löydämme vektoreiden koordinaatit:

\ [\ verikokoinen {ab} (x_b - x_a; y_b - y_a), \]

\ [\ verhorighTarrow {AB} (6 - (- 2); 1 - 0), \]

\ [\ verikokoinen {ab} (8; 1). \]

\ [\ ver_} (x_c - x_a; y_c - y_a), \]

\ [\ verikokoinen {AC} (- 3 - (- 2); - 5 - 0), \]

\ [\ verikokoinen {AC} (- 1; - 5). \]

Löydämme vektorin skalaarin tuotteen:

\ [\ verikokoinen {AB} \ CDOT \ verikokoinen {AC} = 8 \ CDOT (- 1) + 1

Koska skalaarituote on alle nolla, näiden vektorien muodostama kulma, tyhmä. Joten ABC Triangle on tyhmä.

Vektorin vektori (tai moduulit):

\ [Vasen | {\ verhorighTurrow {ab}} \ oikea = \ sqrt {8 ^ 2 + 1 ^ 2} = \ sqrt {65}, \]

\ [Vasen | {\ verhorighTurrow {ac}} \ oikea = \ sqrt {(- 1) ^ 2 + (- 5) ^ 2} = \ sqrt {26}. \]

Täältä

\ [\ Cos = \ frac {{- 13}} {{\ sqrt {65} \ cdot \ sqrt {26}}} = \ FRAC {{- 13}} {{\ sqrt {5 \ cdot 13 \ cdot 2 \ CDOT 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{{13}} {{13 \ sqrt {10}}} = - \ frac {1} {{{\ sqrt {10}}} = - \ frac {{{\ sqrt {10}}} {{10}}. \]

2) Vektorit muodostavat kulma B

\ [\ verikokoinen {ba} u \ verikokoinen {bc}. \]

Tällä tavalla,

\ [cos b = \ frac {{\ verikokoinen {ba} \ cdot \ verhorighterrow {bc}}} {{left | {\ verhorighTurrow {ba}} \ oikea \ Cdot \ Vasen {\ verhorighTurrow {bc}} \ oikea.}}. \]

Kuten

\ [\ verikokoinen {ba} u \ verikokoinen {ab} \]

- vastakkaiset vektorit, niiden koordinaatit eroavat vain merkkeihin ja vektoreilla on sama pituus:

\ [\ verhorighTarrow {ab} (8; 1), \ raaka-alue

\ [Vasen | {\ verhorighTurrow {ba}} \ oikea = Vasen | {\ verhorighTurrow {ab}} \ oikea = \ sqrt {65}. \]

\ [\ ver_ {bc} (x_c - x_b; y_c - y_b), \]

\ [\ verhorighTrrow {bc} (- 3 - 6; - 5 - 1), \]

\ [\ verhorighterrrow {bc} (- 9; - 6). \]

\ [\ verikokoinen {BA} \ CDOT \ verikokoinen {BC} = - 8 \ CDOT (- 9) + (- 1) \ CDOT (- 6) = 78. \]

\ [Vasen | {\ verhorighTurrow {bc}} \ oikea = \ sqrt {(- 9) ^ 2 + (- 6) ^ 2} = \ sqrt {117}. \]

\ [{78}} {{78}} {{\ sqrt {65} \ cdot \ sqrt {117}}} = \ frac {{13 \ cdot 6}} {{\ sqrt {5 \ cdot 13 \ CDOT 9 \ CDOT 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{13 \ CDOT 6}} {{13 \ CDOT 3 \ SQRT 5}} = \ frac {2} {{\ sqrt 5}} = \ frac {{2 \ sqrt 5}}}}} {5 }. \]

3) Vektoreiden muodostama kulma C

\ [\ Overrightarrow {ca} u \ overrightarrow {cb} \]

\ [\ Cos C = \ FRAC {{\ overrightarrow {ca} \ cdot \ overrightarrow {aj}}} {{\ jäljellä | {\ verhorighTurrow {ca}} \ oikea \ Cdot \ Vasen {\ verhorighTurrow {cb}} \ oikea.}}. \]

\ [\ verhorighTrrow {AC} (- 1; - 5), \ Rigrarrow \ verikokoinen {ca} (1; 5), \]

\ [\ Overrightarrow {bc} (- 9, - 6), \ rightarrow \ overrightarrow {aj} (9, 6), \]

\ [Vasen | {\ verhorighTurrow {ca}} \ oikea = Vasen | {\ verhorighTurrow {ac}} \ oikea = \ sqrt {26}, \]

\ [Vasen | {\ verhorighTurrow {cb}} \ oikea = Vasen | {\ verhorighTurrow {bc}} \ oikea = \ sqrt {117}, \]

\ [\ verhorighTurrow {ca} \ cdot \ verikokoinen {cb} = 1 \ CDOT 9 + 5

\ [\ c = \ frac {{39}} {{\ sqrt {26} \ cdot \ sqrt {117}}} = \ frac {{13 \ cdot 3}} {{\ sqrt {2 \ cdot 13 \ CDOT 9 \ CDOT 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{13 \ CDOT 3}} {{13 \ CDOT 3 \ SQRT 2}} = \ frac {1} {{\ sqrt 5}} = \ frac {{\ sqrt 5}}}}} {5} . \]

Vastaus:

\ [cos a = - \ frac {{\ sqrt {10}}} {{10}}, \ cos b = \ frac {{2 \ sqrt 5}} {5}, \ c = \ frac {{ \ Sqrt 5}} {5}; \]

ΔABC - tyhmä.

Добавить комментарий