Teorema de coseno en 1 parte de OGE

En el artículo Sobre un triángulo rectangular Miramos las tareas asociadas con el seno y Cosinese de 1 parte del OGE. Así que asegúrate de mirar.

Resulta que es posible resolver un triángulo rectangular (encontrar todos los lados y esquinas afiladas) es bastante simple, sabiendo solo dos elementos de un triángulo rectangular: dos lados (por el teorema de Pitagore) o ángulo lateral y agudo (de las definiciones De seno, coseno, tangente).

Pero es posible resolver el triángulo (encontrar todos los lados y ángulos) y arbitraria, saber Tres elementos : Tres lados, dos lados y ángulo, o dos esquinas y laterales.

Para los dos primeros casos en la decisión disfrutan. Teorema de Kosineov (Es muy posible que este tema le esté esperando ya la próxima semana en la escuela, y quizás ya):

En cualquier triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las otras dos partes menos el doble producto de estos dos lados al coseno del ángulo entre ellos.

Teorema de coseno en 1 parte de OGE
  • Si conoces tres lados del triángulo, puedes encontrar coseros de todos los ángulos.
  • Si se conocen dos lados y ángulo entre el triángulo, entonces puede encontrar un tercero.

En este caso, es útil utilizar la tabla de valores de coseno de algunos ángulos:

Teorema de coseno en 1 parte de OGE

Considere la solución del problema No. 11 de la colección de Yashchenko (36 opciones) en el teorema de cosine:

Teorema de coseno en 1 parte de OGE

Representaré al triángulo ABC y encontraré en él el lado opuesto para el ángulo de ABC.

Teorema de coseno en 1 parte de OGE

De la figura está claro que el lado opuesto es el lado del au.

Para la parte de la AU, escriba el teorema de coseno:

Teorema de coseno en 1 parte de OGE

Sustituye los valores de todos los lados:

Teorema de coseno en 1 parte de OGE

Llevamos todos los números "gratuitos" (cambiando el signo) a la izquierda de la igualdad y consideremos:

Teorema de coseno en 1 parte de OGE

Encuentra un ángulo de coseno ABC como multiplicador desconocido:

Teorema de coseno en 1 parte de OGE

Registre la respuesta:

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Teorema de coseno en 1 parte de OGE

Ya hemos encontrado coseros de los ángulos de triángulo en sus partidos en un triángulo arbitrario y coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectangular.

Considere cómo encontrar los coseros de las esquinas del triángulo en sus vértices.

Una tarea

BANCHED: ΔABC,

A (-2; 0), B (6; 1), C (-3; -5).

1) Encuentre los coseros de los ángulos del triángulo ABC;

2) Determinar el tipo de triángulo.

Decisión:

Kosinusy-Ulov-Treugolnika1) Ángulo A está formado por vectores

\ [\ sbourightwarrow {ab} u \ scrotharrow {ac}. \]

(El dibujo no es necesario en el plano de coordenadas. Es suficiente para realizarlo esquemáticamente para simplificar la comprensión, qué ángulo se forma qué vectores se forman).

Por eso,

\ [\ cos a = \ frac {{\ scrotharrow {ab} \ cdot \ scrotharrow {ac}}} {{\} | {\ sbourightwarrow {ab}} \ Derecha | \ Cdot \ izquierda | {\ scrorrighprow {ac}} \ justo |}}. \]

Encontraremos las coordenadas de los vectores:

\ [\ scroplightrow {ab} (x_b - x_a; y_b - y_a), \]

\ [\ scrotharrow {ab} (6 - (- 2); 1 - 0), \]

\ [\ sbourightwarrow {ab} (8; 1). \]

\ [\ scrotharrow {ac} (x_c - x_a; y_c - y_a), \]

\ [\ scroplightRow {AC} (- 3 - (- 2); - 5 - 0), \]

\ [\ Sobrevalorrow {AC} (- 1; - 5). \]

Encontramos un producto escalar de vectores:

\ [\ scrotharrow {ab} \ cdot \ scrotharrow {CA} = 8 \ CDOT (- 1) + 1 \ CDOT (- 5) = - 13. \]

Dado que el producto escalar es menor que cero, un ángulo formado por estos vectores, estúpido. Así que el triángulo ABC es estúpido.

Vector (o módulos) de vectores:

\ [\ izquierda | {\ sbourightwarrow {ab}} \ Derecha | = \ sqrt {8 ^ 2 + 1 ^ 2} = \ sqrt {65}, \]

\ [\ izquierda | {\ scroplightrow {ac}} \ Derecha | = \ sqrt {(- 1) ^ 2 + (- 5) ^ 2} = \ sqrt {26}. \]

De aquí

\ [\ cos a = \ frac {{- 13}} {{\ sqrt {65} \ cdot \ sqrt {26}}}} \ frac {{- 13}} {{\ sqrt {5 \ CDOT 13 \ CDOT 2 \ CDOT 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{- 13}} {{13 \ sqrt {10}}} = - \ frac {1} {{\ sqrt {10}}} = - \ frac {{\ sqrt {10}}} {{10}}. \]

2) El ángulo B está formado por vectores

\ [\ sbourightwarrow {ba} u \ scrotharrow {bc}. \]

De este modo,

\ [\ cos b = \ frac {{\ scrotharrow {ba} \ cdot \ scrotharrow {bc}}} {{\ izquierda | {\ sbourighprow {ba}} \ Derecha | \ Cdot \ izquierda | {\ scroplightrow {bc}} \ justo |}}. \]

Como

\ [\ sbourightwarrow {ba} u \ scrotharrow {ab} \]

- Vectores opuestos, sus coordenadas se diferencian solo en los signos y vectores tienen la misma longitud:

\ [\ sbourightwarrow {ab} (8; 1), \ rudowarrow \ scrotharrow {ba} (- 8; - 1), \]

\ [\ izquierda | {\ sbourighprow {ba}} \ Derecha | = \ izquierda | {\ sbourightwarrow {ab}} \ Derecha | = \ sqrt {65}. \]

\ [\ sbourighprow {bc} (x_c - x_b; y_c - y_b), \]

\ [\ scrotharrow {bc} (- 3 - 6; - 5 - 1), \]

\ [\ scrothirrow {bc} (- 9; - 6). \]

\ [\ scroplightrow {ba} \ cdot \ scrotharrow {bc} = - 8 \ CDOT (- 9) + (- 1) \ CDOT (- 6) = 78. \]

\ [\ izquierda | {\ scroplightrow {bc}} \ Derecha | = \ sqrt {(- 9) ^ 2 + (- 6) ^ 2} = \ sqrt {117}. \] \] \]

\ [\ Cos b = \ frac {{78}} {{\ sqrt {65} \ cdot \ sqrt {117}}} = \ frac {{13 \ cdot 6}} {{\ sqrt {5 \ CDOT 13 \ CDOT 9 \ CDOT 13}}} = \]

\ [= \ FRAC {{13 \ CDOT 6}} {{13 \ CDOT 3 \ SQRT 5}} = \ frac {2} {{\ sqrt 5}} = \ frac {{2 \ sqrt 5}} {5 }. \]

3) esquina C está formada por vectores

\ [\ scrotharrow {ca} u \ scrotharrow {cb}, \]

\ [\ cos c = \ frac {{\ scrotharrow {ca} \ cdot \ scrotharrow {cb}}} {{\ izquierda | {\ scroplightrow {ca}} \ Derecha | \ Cdot \ izquierda | {\ scrotharrow {cb}} \ Derecha |}}. \]

\ [\ scroplightRow {CA} (- 1; - 5), \ Rudotrow \ Sobrevalorrow {CA} (1; 5), \]

\ [\ scroplightrow {bc} (- 9; - 6), \ Rudowarrow \ Sobrevalorrow {CB} (9; 6), \]

\ [\ izquierda | {\ scroplightrow {ca}} \ Derecha | = \ izquierda | {\ scroplightrow {ac}} \ Derecha | = \ sqrt {26}, \]

\ [\ izquierda | {\ sbourightwarrow {cb}} \ Derecha | = \ izquierda | {\ scroplightrow {bc}} \ Derecha | = \ sqrt {117}, \]

\ [\ SNUBUSTOWARROW {CA} \ CDOT \ SNUBUSTOWARROW {CB} = 1 \ CDOT 9 + 5 \ CDOT 6 = 39. \]

\ [\ cos c = \ frac {{39}} {{\ sqrt {26} \ cdot \ sqrt {117}}} = \ frac {{13 \ cdot 3}} {{\ sqrt {2 \ cdot 13 \ CDOT 9 \ CDOT 13}}} = \]

\ [= \ FRAC {{13 \ CDOT 3}} {{13 \ CDOT 3 \ SQRT 2}} = \ frac {1} {{\ sqrt 5}} = \ frac {{\ sqrt 5}} {5} . \]

Respuesta:

\ [\ cos a = \ frac {{\ sqrt {10}}} {{10}}} {{10}}, \ cos b = \ frac {{2 \ sqrt 5}} {5}, \ cos c = \ frac {{ \ Sqrt 5}} {5}; \]

ΔABC - estúpido.

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