Cosinus theorem in einem Teil von oge

Im Artikel Über ein rechteckiges Dreieck Wir haben uns auf die Aufgaben angesehen, die mit Sinus und Cosinese von einem Teil der OGE verbunden sind. Seien Sie also sicher aus.

Es stellt sich heraus, dass es möglich ist, ein rechteckiges Dreieck zu lösen (Finden von allen Seiten und scharfen Ecken) ist ziemlich einfach, wobei nur zwei Elemente eines rechteckigen Dreiecks kennt: zwei Seiten (durch den Pythagoree-Satz) oder der seitliche und spitze Winkel (aus den Definitionen) von Sinus, Cosinus, Tangent).

Es ist jedoch möglich, das Dreieck zu lösen (alle Seiten und Winkel finden) und willkürlich zu wissen Drei Elemente : Drei Seiten, zwei Seiten und Winkel oder zwei Ecken und Seite.

Für die ersten beiden Fälle in der Entscheidung genießen Sie Kosinov theorem. (Es ist durchaus möglich, dass dieses Thema schon nächste Woche in der Schule auf Sie wartet, und vielleicht schon):

In jedem Dreieck ist das Quadrat einer Seite gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Parteien abzüglich des Doppelprodukts dieser beiden Seiten bis zum Cosinus des Winkels zwischen ihnen.

Cosinus theorem in einem Teil von oge
  • Wenn Sie drei Seiten des Dreiecks kennen, können Sie Cosinus aller Winkel finden
  • Wenn zwei Seiten und Winkel zwischen dem Dreieck bekannt sind, können Sie einen Dritten finden.

In diesem Fall ist es nützlich, die Tabelle der Cosinuswerte einiger Winkel zu verwenden:

Cosinus theorem in einem Teil von oge

Betrachten Sie die Lösung des Problems Nr. 11 aus der Sammlung von Yashchenko (36 Optionen) auf dem Cosinus-Satz:

Cosinus theorem in einem Teil von oge

Ich werde das ABC-Dreieck darstellen und dabei die gegenüberliegende Seite für den Winkel von ABC finden.

Cosinus theorem in einem Teil von oge

Aus der Figur ist klar, dass die gegenüberliegende Seite die Seite des AU ist.

Für den Teil der AU schreiben Sie den Cosinus-Theorem:

Cosinus theorem in einem Teil von oge

Ersetzen Sie die Werte aller Seiten:

Cosinus theorem in einem Teil von oge

Wir tragen alle "kostenlosen" Nummern (Änderung des Zeichens) links von der Gleichheit und berücksichtigen:

Cosinus theorem in einem Teil von oge

Finden Sie einen Cosinus-Winkel ABC als unbekannter Multiplizierer:

Cosinus theorem in einem Teil von oge

Notieren Sie sich die Antwort:

Cosinus theorem in einem Teil von oge

Wenn Sie wissen, dass diejenigen, die sich auf OGE vorbereiten, nicht vergessen, diese Informationen mitzuteilen. Immer nützlich

Fortsetzung folgt...

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Cosinus theorem in einem Teil von oge

Wir haben bereits Coolys der Dreieckwinkel auf ihren Parteien in einem willkürlichen Dreieck und Cosinus eines spitzen Winkels eines rechteckigen Dreiecks gefunden.

Überlegen Sie, wie Sie die Cosinus der Ecken des Dreiecks an seinen Scheitelpunkten finden können.

Eine Aufgabe

Danached: Δabc,

A (-2; 0), B (6; 1), C (-3; -5).

1) Finden Sie die Cosinus der ABC-Dreieckwinkel;

2) Bestimmen Sie die Art des Dreiecks.

Entscheidung:

Kosinusy-uglov-treugolnika1) Der Winkel A wird von Vektoren gebildet

\ [\ overRightrow {ab} u \ overRightarrow {ac}. \]

(Die Zeichnung ist auf der Koordinatenebene nicht notwendig. Es reicht aus, es schematisch durchzuführen, um das Verständnis zu vereinfachen, welchen Winkel, welchen Vektoren gebildet werden).

Daher,

\ [\ cos a = \ frac {{\ overRightarrow {ab} \ cdot \ overRightarrow {ac}}} {{\ link | {\ operightarrow {ab}} \ Right | \ Cdot \ links | {\ overRightRarrow {ac}} \ Right |}}. \]

Wir finden die Koordinaten der Vektoren:

\ [\ overRightRoRow {ab} (x_b - x_a; y_b - y_a), \]

\ [\ OverRightRarrow {ab} (6 - (- 2); 1 - 0), \]

\ [\ overquithtarrow {ab} (8; 1). \]

\ [\ overRigregtarrow {ac} (x_c - x_a; y_c - y_a), \]

\ [\ overRightrow {ac} (- 3 - (2); - 5 - 0), \]

\ [\ overRigregtarrow {ac} (- 1; - 5). \]

Wir finden ein Skalarprodukt von Vektoren:

\ [\ overRigreRegarrow {ab} \ cdot \ overRightarrow {ac} = 8 \ CDOT (- 1) + 1 \ CDOT (- 5) = - 13. \]

Da das Skalarprodukt weniger als Null ist, ist ein Winkel, der von diesen Vektoren gebildet wird, dumm. Das ABC-Dreieck ist also dumm.

Vektor (oder Module) von Vektoren:

\ [\ \ links | {\ operightarrow {ab}} \ Right | = \ sqrt {8 ^ 2 + 1 ^ 2} = \ sqrt {65}, \]

\ [\ \ links | {\ operightarrow {ac}} \ Right | = \ sqrt {(- 1) ^ 2 + (- 5) ^ 2} = \ sqrt {26}. \]

Von hier

\ [\ cos a = \ frac {{- 13}} {{\ sqrt {65} \ cdot \ sqrt {26}}} = \ frac {{- 13}} {{\ sqrt {5 \ cdot 13 \ cdot 2 \ cdot 13}}}} = \]

\ [= \ Frac {{- 13}} {{13 \ sqrt {10}}} = - \ frac {1} {{\ sqrt {10} {{\ sqrt {10}}} = - \ frac {{\ sqrt {10}}} {{10}}. \]

2) Der Winkel B wird von Vektoren gebildet

\ [\ overRigregtarrow {ba} u \ overtrightarrow {bc}. \]

Auf diese Weise,

\ [\ cos b = \ frac {{\ overRightrow {ba} \ cdot \ overRightarrow {bc}}} {{\ link | {\ operightarrow {ba}} \ Right | \ Cdot \ links | {\ overRightRarrow {bc}} \ Right |}}. \]

Als

\ [\ operightarrow {ba} u \ overRightarrow {ab} \]

- Gegenteilte Vektoren unterscheiden sich ihre Koordinaten nur auf Zeichen und Vektoren haben die gleiche Länge:

\ [\ overquightarrow {ab} (8; 1), \ Rightarrow \ overRightarrow {BA} (- 8; - 1), \]

\ [\ \ links | {\ operightarrow {ba}} \ Right | = \ links | {\ operightarrow {ab}} \ Right | = \ sqrt {65}. \]

\ [\ overRigregtarrow {bc} (x_c - x_b; y_c - y_b), \]

\ [\ OverRightRarrow {BC} (- 3 - 6; - 5 - 1), \]

\ [\ overquightarrow {bc} (- 9; - 6). \]

\ [\ overRigreRegarrow {BA} \ CDOT \ OverRigreRegarrow {BC} = - 8 \ CDOT (- 9) + (- 1) \ CDOT (- 6) = 78. \]

\ [\ \ links | {\ overRightarrow {bc}} \ Right | = \ sqrt {(- 9) ^ 2 + (- 6) ^ 2} = \ sqrt {117}. \]

\ [\ Cos b = \ frac {{78}} {{\ sqrt {65} \ cdot \ sqrt {117}}} = \ frac {{13 \ cdot 6}} {{\ sqrt {5 \ cdot 13 \ CDOT 9 \ CDOT 13}}}} = \]

\ [= \ Frac {{13 \ cdot 6}} {{13 \ cdot 3 \ sqrt 5}} = \ frac {2} {{\ sqrt 5}} = \ frac {{2 \ sqrt 5}} {5 }. \]

3) Ecke C wird von Vektoren gebildet

\ [\ overRightRarrow {ca} \ overRightRarrow {cb}, \]

\ [\ cos c = \ frac {{\ overRightRarrow {ca {cdot \ overRightarrow {cb {cb}}} {{\ link | {\ overRightarrow {ca}} \ Right | \ Cdot \ links | {\ overRightRearrow {cb}} \ Right |}}. \]

\ [\ overRightarrow {ac} (- 1; - 5), \ Rightarrow \ overRightarrow {ca} (1; 5), \]

\ [\ overquightarrow {bc} (- 9; - 6), \ Rightarrow \ overRightarrow {cb} (9; 6), \]

\ [\ \ links | {\ overRightarrow {ca}} \ Right | = \ links | {\ operightarrow {ac}} \ Right | = \ sqrt {26}, \]

\ [\ \ links | {\ operightrow {cb}} \ Right | = \ links | {\ overRightarrow {bc}} \ Right | = \ sqrt {117}, \]

\ \ \ overquightarrow {CA} \ CDOT \ OverRigreRegarrow {CB} = 1 \ CDOT 9 + 5 \ CDOT 6 = 39. \]

\ [\ cos c = \ frac {{39}} {{\ sqrt {26} \ cdot \ sqrt {117}}} = \ frac {{13 \ cdot 3}} {{\ sqrt {2 \ cdot 13 \ CDOT 9 \ CDOT 13}}}} = \]

\ [= \ Frac {{13 \ cdot 3}} {{13 \ cdot 3 \ sqrt 2}} = \ frac {1} {{\ sqrt 5}} {{\ sqrt 5}} = \ frac {{\ sqrt 5}} {5} . \]

Antworten:

\ [\ cos a = - \ frac {{\ sqrt {10}}} {{10}}} {{10}}, \ cos b = \ frac {{2 \ sqrt 5}} {5}, \ cos c = \ frac {{ \ Sqrt 5}} {5}; \]

Δabc - dumm.

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