COSINE TREOREM I 1 DEL AF OGE

I artiklen Om en rektangulær trekant Vi kiggede på opgaverne forbundet med sinus og cosines fra 1 del af Oge. Så sørg for at se.

Det viser sig, at det er muligt at løse en rektangulær trekant (finde alle sider og skarpe hjørner) er ret simpelt, idet kun at kende to elementer af en rektangulær trekant: to sider (ved pythagoree teorem) eller side og akut vinkel (fra definitionerne af sinus, cosinus, tangent).

Men det er muligt at løse trekanten (find alle sider og vinkler) og vilkårlig, idet det kender Tre elementer : Tre sider, to sider og vinkel eller to hjørner og side.

For de første to tilfælde i beslutningen nyder Kosineov-teorem (Det er helt muligt, at dette emne venter på dig allerede i næste uge i skolen, og måske allerede):

I en hvilken som helst trekant er pladsen på den ene side lig med summen af ​​de to andre parters kvadrater minus dobbeltproduktet af disse to sider til kosinden af ​​vinklen mellem dem.

COSINE TREOREM I 1 DEL AF OGE
  • Hvis du kender tre sider af trekanten, kan du finde cosiner af alle vinkler
  • Hvis to sider og vinkel mellem trekanten er kendt, kan du finde en tredjepart.

I dette tilfælde er det nyttigt at bruge bordet over cosineværdier af nogle vinkler:

COSINE TREOREM I 1 DEL AF OGE

Overvej løsningen af ​​problemet nr. 11 fra samlingen af ​​Yashchenko (36 muligheder) på COSINE TEOREM:

COSINE TREOREM I 1 DEL AF OGE

Jeg vil skildre ABC-trekanten og finde den modsatte side for ABC's vinkel.

COSINE TREOREM I 1 DEL AF OGE

Fra figuren er det klart, at den modsatte side er siden af ​​AU.

For den del af AU, skriv COSINE TEOREM:

COSINE TREOREM I 1 DEL AF OGE

Erstatte værdierne af alle sider:

COSINE TREOREM I 1 DEL AF OGE

Vi bærer alle de "gratis" tal (ændrer tegnet) til venstre for ligestilling og overvejer:

COSINE TREOREM I 1 DEL AF OGE

Find en cosiny vinkel ABC som en ukendt multiplikator:

COSINE TREOREM I 1 DEL AF OGE

Optag svaret:

COSINE TREOREM I 1 DEL AF OGE

Hvis du kender dem, der forbereder sig på Oge, skal du ikke glemme at dele med det denne information. Altid nyttigt.

Fortsættes...

Glem ikke at klikke på fingeren op efter at have læst og abonnere. For denne separate tak

(✿◠‿◠)

COSINE TREOREM I 1 DEL AF OGE

Vi har allerede fundet cosines af trekantsvinklerne på sine fester i en vilkårlig trekant og cosinus af en spids vinkel på en rektangulær trekant.

Overvej hvordan man finder cosinerne af trekantens hjørner på sine hjørner.

En opgave

Danched: ΔABC,

A (-2; 0), B (6; 1), C (-3; -5).

1) Find cosines af ABC Triangle vinkler;

2) Bestem typen af ​​trekant.

Afgørelse:

Kosinusy-Uglov-Treugolnika1) Vinkel A er dannet af vektorer

\ [\ NESTHOUNDAROW {AB} U \ FOURTHOUROW {AC}. \]

(Tegningen er ikke nødvendig på koordinatplanet. Det er nok at udføre det skematisk for at forenkle forståelsen, hvilken vinkel ved hvilke vektorer der dannes).

Dermed,

\ [\ cos a = \ frac {{\ NOURTArrow {AC}}} {{\ LEFT | {\ NESTHOUNDAG {AB} \ Right | \ Cdot \ venstre | {\ NESTHOUNDAROW {AC}} \ Right |}}. \]

Vi finder koordinaterne for vektorerne:

\ [\ NESTHOUNDAROW {AB} (X_B - X_A; Y_B - Y_A), \]

\ [\ NESTHOUNDAROW {AB} (6 - (- 2); 1 - 0), \]

\ [\ NESTHOUNDAROW {AB} (8; 1). \]

\ [\ HOSTHTArrow {AC} (X_C - X_A; Y_C - Y_A), \]

\ [\ NESTHOUNDAG {AC} (- 3 - (- 2); - 5 - 0), \]

\ [\ NESTHOUNDAROW {AC} (- 1; - 5). \]

Vi finder et skalærprodukt af vektorer:

\ [\ HOSTHTArROW {AB} \ CDOT \ FOURTArrow {AC} = 8 \ CDOT (- 1) + 1 \ CDOT (- 5) = - 13. \]

Da skalærproduktet er mindre end nul, en vinkel dannet af disse vektorer, dumme. Så ABC-trekanten er dum.

Vektor (eller moduler) af vektorer:

\ [\ venstre | {\ NESTHOUNDAG {AB} \ Right | = \ sqrt {8 ^ 2 + 1 ^ 2} = \ sqrt {65}, \]

\ [\ venstre | {\ NOURTArrow {AC}} \ Right | = \ sqrt {(- 1) ^ 2 + (- 5) ^ 2} = \ sqrt {26}. \]

Herfra

\ [\ cos a = \ frac {{}}} {{\ sqrt {65} \ cdot \ sqrt {26}}} = \ frac {{- 13}} {{\ sqrt {5 \ cdot 13 \ cdot 2 \ CDOT 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{}}} {{13 \ sqrt {10}}} = - \ frac {1} {{\ sqrt {10}}} = - \ frac {{\ sqrt {10}}} {{10}}. \]

2) Vinkel B dannes af vektorer

\ [\ NESTHOUNDAROW {BA} U \ FOURTHOUROW {BC}. \]

På denne måde,

\ [\ cos b = \ frac {{\ NOURTArrow {BC}}} {{\ VENSTRE | {\ NOURTArrow {BA}} \ Right | \ Cdot \ venstre | {\ HOSTHTArrow {BC}} \ Right |}}. \]

Som

\ [\ NESTHOUNDAROW {BA} U \ FOURTHOUROW {AB} \]

- Modsatte vektorer er deres koordinater kun forskellige på tegn og vektorer, har samme længde:

\ [\ NESTHOUNDAROW {AB} (8; 1), \ Rightarrow \ Nurshthtarrow {BA} (- 8; - 1), \]

\ [\ venstre | {\ NOURTArrow {BA}} \ Right | = \ venstre | {\ NESTHOUNDAG {AB} \ Right | = \ sqrt {65}. \]

\ [\ purpose {bc} (x_c - x_b; y_c - y_b), \]

\ [\ NESTHOUNDAROW {BC} (- 3 - 6; - 5 - 1), \]

\ [\ NESTHOUNDAROW {BC} (- 9; - 6). \]

\ [\ NESTHOUNDAROW {BA} \ CDOT \ NESTHOUROW {BC} = - 8 \ CDOT (- 9) + (- 1) \ CDOT (- 6) = 78. \]

\ [\ venstre | {\ NOUNTHROUND {BC}} \ Right | = \ sqrt {(- 9) ^ 2 + (- 6) ^ 2} = \ sqrt {117}. \]

\ [\ \ Cos b = \ frac {{78}} {{{{117}} \ cdot \ sqrt {117}}} = \ frac {{13 \ cdot 6}} {{\ sqrt {5 \ cdot 13 \ CDOT 9 \ CDOT 13}}} = \]

\ [= \ FRIC {{13 \ CDOT 6}} {{13 \ CDOT 3 \ SQRT 5}} = \ FRAC {2} {{\ SQRT 5}} = \ FRAC {{2 \ SQRT 5}} {5 }. \]

3) Hjørne C er dannet af vektorer

\ [\ NESTHOUNDAROW {CA} U \ NOUNTHOUROW {CB}, \]

\ [\ cos c = \ frac {{\ Nurthriptarow {CB}}} {{\ venstre | {\ NESTHOUNDAROW {CA}} \ Right | \ Cdot \ venstre | {\ NESTHOURN {CB}} \ Right |}}. \]

\ [\ NESTHOUNDAROW {AC} (- 1; - 5), \ Rightarrow \ Nurshthtarrow {CA} (1; 5), \]

\ [\ NESTHOUNDAROW {BC} (- 9; - 6), \ RightarrOrOrOrOrOrOrOrOrOd {CB} (9; 6), \]

\ [\ venstre | {\ NESTHOUNDAROW {CA}} \ Right | = \ venstre | {\ NOURTArrow {AC}} \ Right | = \ sqrt {26}, \]

\ [\ venstre | {\ NESTHOUNDAROW {CB}} \ Right | = \ venstre | {\ NOUNTHROUND {BC}} \ Right | = \ sqrt {117}, \]

\ [\ NESTHOUNDAROW {CA} \ CDOT \ NESTHOUROW {CB} = 1 \ CDOT 9 + 5 \ CDOT 6 = 39. \]

\ [\ cos c = \ frac {{39}} {{\ sqrt {26} \ cdot \ sqrt {117}}} = \ frac {{13 \ CDOT 3}} {{\ SQRT {2 \ CDOT 13 \ CDOT 9 \ CDOT 13}}} = \]

\ [= \ Frac {{13 \ CDOT 3}} {{13 \ CDOT 3 \ SQRT 2}} = \ FRIC {1} {{\ SQRT 5}} = \ FRAC {{\ SQRT 5}} {5} . \]

Svar:

\ [\ cos a = - \ frac {{\ sqrt {10}}} {{10}}, \ cos b = \ frac {{2 \ sqrt 5}} {{{\ cos c = \ frac {{{{{{{\ \ Sqrt 5}} {5}; \]

ΔABC - dumt.

Добавить комментарий