Cosine teorém v 1 části oge

V článku O obdélníkovém trojúhelníku Dívali jsme se na úkoly spojené s Sinusem a Cosinese z 1 části Oge. Takže určitě vypadat.

Ukazuje se, že je možné vyřešit obdélníkový trojúhelník (hledání všech stran a ostrých rohů) je poměrně jednoduché, znát pouze dva prvky obdélníkového trojúhelníku: dvě strany (v teorému Pythagoree) nebo boční a akutní úhel (z definic Sinus, Cosine, tangent).

Ale je možné vyřešit trojúhelník (najít všechny strany a úhly) a libovolný, vědět Tři prvky : Tři strany, dvě strany a úhel nebo dva rohy a strana.

Pro první dvě případy v rozhodnutí Kosinev teorém (Je docela možné, že toto téma čeká na vás již příští týden ve škole a možná už):

V každém trojúhelníku se náměstí jedné strany rovná součtu čtverců dvou dalších stran mínus dvojitý produkt těchto dvou stran k kosuálnímu úhlu mezi nimi.

Cosine teorém v 1 části oge
  • Pokud znáte tři strany trojúhelníku, můžete najít kosines všech úhlů
  • Pokud jsou známy dvě strany a úhel mezi trojúhelníkem, pak můžete najít třetí stranu.

V tomto případě je užitečné použít tabulku kosinových hodnot některých úhlů:

Cosine teorém v 1 části oge

Zvažte řešení problému č. 11 ze sbírky Yashchenko (36 možností) na kosinový teorém:

Cosine teorém v 1 části oge

Budu zobrazovat trojúhelník ABC a najít v něm opačnou stranu pro úhel ABC.

Cosine teorém v 1 části oge

Ze obrázku je jasné, že opačná strana je strana Au.

Pro část AU napište kosine teorém:

Cosine teorém v 1 části oge

Nahraďte hodnoty všech stran:

Cosine teorém v 1 části oge

Neseme všechny "volné" čísla (změna značky) vlevo od rovnosti a zvážit:

Cosine teorém v 1 části oge

Najít kosinový úhel ABC jako neznámý násobitel:

Cosine teorém v 1 části oge

Zaznamenejte odpověď:

Cosine teorém v 1 části oge

Pokud znáte ty, kteří se připravují na OGE, nezapomeňte s ní sdílet tyto informace. Vždy užitečné.

Pokračování příště...

Nezapomeňte kliknout na prst po přečtení a přihlásit se. Pro tuto samostatnou díky

(✿◠‿◠)

Cosine teorém v 1 části oge

Již jsme našli kosinys trojúhelníkových úhlů na svých stranách v libovolném trojúhelníku a cosinu akutního úhlu obdélníkového trojúhelníku.

Zvažte, jak najít kosinys rohy trojúhelníku na jeho vrcholy.

Úkol

Danched: ΔAbc,

A (-2; 0), b (6; 1), c (-3; -5).

1) Najděte kosinys úhlů trojúhelníku ABC;

2) Určete typ trojúhelníku.

Rozhodnutí:

Kosinusy-uglov-treugolnika1) Úhel A je tvořen vektory

[overiglightarrow {ab} u přecritharrow {AC}.

(Výkres není nutný na souřadnicové rovině. Stačí to provést schematicky, aby zjednodušil porozumění, který úhel, jakým je vektory vytvořeny).

Proto,

[COS A = FRAC {{Orglightarrow {ab} cdot "{ac}}} {{levic | {overiglightarrow {ab}} \ t \ CdOt levý | {OrgliageRrow {AC}} vpravo |}}.

Najdeme souřadnice vektorů:

[overightarrow {ab} (x_b - x_a; y_b - y_a), \ t

[Orgrightarrow {ab} (6 - (- 2); 1 - 0), \ t

[Orgrightarrow {ab} (8; 1). \ T

[Orgrightarrow {AC} (X_C - X_A; Y_C - Y_A), \ t

[Orightarrow {AC} (- 3 - (- (- 2); - 5 - 0),] \ t

[Orgrightarrow {AC} (- 1; - 5). \ T

Najdeme skalární produkt vektorů:

[Orightarrow {ab} cdot "{ac} = 8 cdot (- 1) + 1 cdot (- 5) = - 13. \ t

Vzhledem k tomu, že skalární produkt je menší než nula, úhel tvořený těmito vektory, hloupé. Takže trojúhelník ABC je hloupý.

Vektor (nebo moduly) vektorů:

[vlevo | {overiglightarrow {ab}} \ t = SQRT {8 ^ 2 + 1 ^ 2} = SQRT {65}, \ t

[vlevo | {overightarrow {AC}} \ t = sqrt {(- 1) ^ 2 + (- 5) ^ 2} = sqrt {26}.

Odtud

[COS A = FRAC {{- 13}} {{ 2 \ CDOT 13}}} = \ t

[= Frac {{- 13}} {{13 \ SQRT {10}}} = - frac {1} {{{{sqrt {10}}} = - Frac {{ {{10}}.

2) Úhel B je tvořen vektory

[Orglightarrow {ba} u přecritharrow {bc}.

Takto,

[COS B = Frac {{Orglightarrow {ba} cdot "{bc}}} {{levic | {overightarrow {ba}} \ t \ CdOt levý | {přecritharrow {bc}} vpravo |}}.

Tak jako

[overightarrow {ba} u překročení {ab} \ t

- Protilehlé vektory, jejich souřadnice se liší pouze na značkách a vektorech mají stejnou délku:

[Orightarrow {ab} (8; 1), Lightarrow \ }Rightarrow {ba} (- 8; - 1), \ t

[vlevo | {overightarrow {ba}} \ t = levý | {overiglightarrow {ab}} \ t = sqrt {65}.

[OrgliageRrow {bc} (x_c - x_b; y_c - y_b), \ t

[Orightarrow {BC} (- 3 - 6; - 5 - 1), \ t

[OrgliageRrow {BC} (- 9; - 6). \ T

[Orgrightarrow {ba} cdot přepsání {bc} = - 8 cdot (- 9) + (- 1) cdot (- 6) = 78.

[vlevo | {overightarrow {bc}} \ t = SQRT {(- 9) ^ 2 + (- 6) ^ 2} = sqrt {117}. \ T

[Cos b = frac {{78}} {{sqrt {65} cdot {117}}} = frac {{13 CDOT 6}} {{{sqrt {55 CDOT 9 CDOT 13}}} = \]

[= Frac {{13 CDOT 6}} {{13 CDOT 3 SQRT 5}} = Frac {2} {{{ }.

3) Roh C je tvořen vektory

[OrgliageRrow {ca} u překročení {cb}, \ t

[COS C = Frac {{Orglightarrow {CA} Cdot OrgliageRrow {cb}}} {{levic | {overightarrow {ca}} \ t \ CdOt levý | {OrgliageRrow {cb}} vpravo |}}.

[Orgrightarrow {AC} (- 1; - 5), Lightarrow \ Ovrantarrow {CA} (1; 5), \ t

[Orgrightarrow {BC} (- 9; - 6), Lightarrow Přerušení {CB} (9; 6), \ t

[vlevo | {overightarrow {ca}} \ t = levý | {overightarrow {AC}} \ t = sqrt {26}, \ t

[vlevo | {overiglightarrow {cb}} \ t = levý | {overightarrow {bc}} \ t = \ SQRT {117}, \ t

[Orgrightarrow {ca} cdot přepsání {cb} = 1 cdot 9 + 5 cdot 6 = 39. \ T

\ cos c = frac {{39}} {{ CDOT 9 CDOT 13}}} = \]

[= Frac {{13 Cdot 3}} {{13 CDOT 3 . \ T

Odpovědět:

[cos a = - frac {} {} {} {} {} {{10}}, cos b = frac {{2 SQRT 5}} {5};

ΔABC - hloupý.

Добавить комментарий